x*(sin(x))的平方的积分

这个积分可以通过分部积分法来求解。

设u=sin(x)，dv= x*sin(x)dx，则du=cos(x)dx，v=-x*cos(x)+sin(x)

则原积分可以表示为：

∫x*(sin(x))^2dx = -x*cos(x)*(sin(x))^2 + ∫cos(x)*(sin(x))^2dx

再次应用分部积分法，设u=sin(x)，dv=sin(x)cos(x)dx，则du=cos^2(x)dx，v=-cos(x)cos(x)/2

则原积分可以进一步化简为：

∫x*(sin(x))^2dx = -x*cos(x)*(sin(x))^2 - cos(x)*(sin(x))^2/2 + ∫cos^2(x)*(sin(x))^2dx

化简最后一项，利用三角恒等式sin^2(x)=1-cos^2(x)，得到：

∫cos^2(x)*(sin(x))^2dx = ∫(1-sin^2(x))*(sin(x))^2cos(x)dx

令u=sin(x)，dv=sin(x)cos(x)dx，则du=cos^2(x)dx，v=-cos(x)cos(x)/2

则∫(1-sin^2(x))*(sin(x))^2cos(x)dx = ∫(1-u^2)u^2du = ∫(u^2-u^4)du = u^3/3 - u^5/5

将上述结果代入原积分中，得到：

∫x*(sin(x))^2dx = -x*cos(x)*(sin(x))^2 - cos(x)*(sin(x))^2/2 + u^3/3 - u^5/5

最终答案为：

-x*cos(x)*(sin(x))^2 - cos(x)*(sin(x))^2/2 + (sin(x))^3/3 - (sin(x))^5/5 + C，其中C为积分常数。