例5求以 xOy 面上的圆域 D =|( x , y )|x2+y2≤1|为底，圆柱面x2+y2=则面，抛物面 z =2-x2- y 为顶的曲顶柱体的体积．需要具体过程。利用重积分

首先，我们需要画出曲顶柱体的图形：

<img src="https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ed3h7x8m.png" width="300px">

可以看到，曲顶柱体由圆盘和抛物面围成，因此我们可以将其体积分为两部分，分别计算再相加。

1. 圆盘的体积

圆盘的体积可以通过求解圆面积再乘以柱体高度得到。由题可知圆的半径为 1，因此圆面积为 $\pi$。柱体高度为抛物面的高度，即 $z=2-x^2-y^2$。因此圆盘的体积为：

$$V_1 = \iint_D (2-x^2-y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

其中 $D$ 为圆域 $x^2+y^2\leq 1$。

2. 抛物面的体积

抛物面的体积可以通过将抛物面分成若干个小立方体，再将其体积相加得到。由于抛物面是关于 $z$ 轴对称的，因此我们可以只考虑 $x>0$ 的部分，再将最终结果乘以 2，即可得到整个抛物面的体积。

我们可以将 $x$ 分为 $n$ 个小段，将 $y$ 分为 $m$ 个小段，然后在每个小立方体的中心点 $(x_i,y_i,z_i)$ 处计算其体积 $\Delta V_i$。各个小立方体的体积之和即为整个抛物面的体积：

$$V_2 = 2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\Delta V_i$$

为了简化计算，我们可以将 $x$ 和 $y$ 均分为 $n$ 段，因此每个小立方体的长、宽、高均为 $\frac{1}{n}$。设 $x_i=i\Delta x$，$y_i=j\Delta y$，则有：

$$\Delta x = \frac{1}{n},\quad \Delta y = \frac{1}{n},\quad x_i = i\Delta x,\quad y_i = j\Delta y$$

对于每个小立方体，其中心点的坐标为 $(x_i+\frac{1}{2n},y_i+\frac{1}{2n},z_i)$。因此，每个小立方体的体积为：

$$\Delta V_i = \Delta x\Delta y(z_i+\frac{1}{4n^2})$$

将其代入式子中，得到：

$$V_2 = 2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\Delta V_i = 2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\Delta x\Delta y(z_i+\frac{1}{4n^2}) = 2\Delta x\Delta y\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(z_i+\frac{1}{4n^2})$$

其中 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(z_i+\frac{1}{4n^2})$ 可以用双重积分来计算，即：

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(z_i+\frac{1}{4n^2}) \approx \iint_R (2-x^2-y^2+\frac{1}{4n^2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

其中 $R$ 为第一象限中的矩形 $\{(x,y)|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1\}$。因此，抛物面的体积为：

$$V_2 \approx 2\Delta x\Delta y\iint_R (2-x^2-y^2+\frac{1}{4n^2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

将 $n$ 取得越大，误差就会越小。当 $n\rightarrow \infty$ 时，$V_2$ 的近似值就会趋近于其精确值。因此，我们可以通过计算 $V_2$ 的近似值来得到抛物面的体积。

综上所述，曲顶柱体的体积为：

$$V = V_1 + V_2 \approx \iint_D (2-x^2-y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y + 2\Delta x\Delta y\iint_R (2-x^2-y^2+\frac{1}{4n^2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

当 $n$ 足够大时，上式的第二项可以忽略不计。因此，最终的近似值为：

$$V \approx \iint_D (2-x^2-y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

我们可以通过极坐标变换来计算上式的积分。令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则有：

$$\iint_D (2-x^2-y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(2-r^2)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \frac{4\pi}{3}$$

因此，曲顶柱体的体积近似为 $\frac{4\pi}{3}$。