牛顿迭代求解非线性方程组的时候如何得到线性化的方程组
时间: 2023-08-07 18:05:38 浏览: 68
牛顿迭代法是一种求解非线性方程组的数值方法。在每次迭代时,需要将非线性方程组近似为线性方程组。这个近似是通过对非线性方程组进行泰勒展开得到的。具体来说,假设需要求解一个 $n$ 元非线性方程组 $F(x)=0$,其中 $F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)^T$ 表示非线性函数向量,$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ 表示未知变量向量。牛顿迭代法的基本思想是:在当前迭代点 $x_k$ 处,用一次泰勒展开来近似 $F(x)$,然后求解线性方程组得到下一个迭代点 $x_{k+1}$,即
$$F(x_k)+J(x_k)(x_{k+1}-x_k)=0$$
其中,$J(x_k)$ 表示 $F(x)$ 在 $x_k$ 处的雅可比矩阵,即
$$J(x_k)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_k) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_k) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_k) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_k) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_k) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x_k) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(x_k) & \frac{\partial f_n}{\partial x_2}(x_k) & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}(x_k) \end{pmatrix}$$
线性化方程组就是上述式子中的
$$F(x_k)+J(x_k)(x_{k+1}-x_k)=0$$
这是一个 $n$ 元线性方程组,可以通过直接求解或迭代法求解。牛顿迭代法的核心就是不断迭代这个线性化方程组,直到满足一定的停止条件为止。