求极限当x趋近于1 [(1-√x)(1-³√x)...((1-n√x)]÷(1-x)n-1
时间: 2023-10-09 10:05:22 浏览: 33
首先,我们可以将每个因式展开:
(1-√x) = (1-x^(1/2))
(1-³√x) = (1-x^(1/3))
...
(1-n√x) = (1-x^(1/n))
将每个因式代入原式,得到:
[(1-x^(1/2))(1-x^(1/3))...(1-x^(1/n))]÷(1-x)^(n-1)
接下来,我们可以将每个因式展开:
(1-x^(1/2))(1-x^(1/3)) = 1 - x^(1/2) - x^(1/3) + x^(1/2 + 1/3)
(1-x^(1/2))(1-x^(1/3))(1-x^(1/4)) = 1 - x^(1/2) - x^(1/3) - x^(1/4) + x^(1/2 + 1/3) + x^(1/2 + 1/4) + x^(1/3 + 1/4) - x^(1/2 + 1/3 + 1/4)
以此类推,可以得到:
[(1-x^(1/2))(1-x^(1/3))...(1-x^(1/n))] = 1 - ∑(1≤i<j≤n) x^(1/ij) + ∑(1≤i<j<k≤n) x^(1/ijk) - ... + (-1)^(n+1) x^(1/2*3*...*n)
将其代入原式,并化简,得到:
1 ÷ (1-x)^(1/2+1/3+...+1/n)
因此,当x趋近于1时,原式的极限为:
1 ÷ (1-1)^(1/2+1/3+...+1/n)
即:
1 ÷ 0
不存在。
相关问题
当x趋近于a ,1/(x-a) =?
当 x 趋近于 a 时,表达式 1/(x-a) 的极限取决于 a 的取值和 x 的趋近方式。我们可以考虑两种情况:
1. 当 x 趋近于 a 但不等于 a 时,即 x ≠ a,那么可以将表达式写为 1/(x-a) = 1/[(x-a)*1]。在这种情况下,极限的计算可以使用基本极限公式:
lim(x→a) 1/(x-a) = lim(x→a) 1/[(x-a)*1] = 1/[(a-a)*1] = 1/0
这里的极限结果是一个除以零的情况,所以这个极限是不存在的。
2. 当 x 趋近于 a 且 x = a 时,即 x = a,那么表达式变为 1/(x-a) = 1/(a-a) = 1/0。
在这种情况下,分母为零,所以这个极限同样是不存在的。
综上所述,在 x 趋近于 a 的情况下,无论 x 是否等于 a,表达式 1/(x-a) 的极限都是不存在的。
希望这个回答对你有所帮助!如果还有其他问题,请随时提出。
1-cosx/x 极限
当$x$趋近于0时,$1-\cos x$趋近于$\dfrac{1}{2}x^2$,$x$趋近于0时,$\dfrac{\sin x}{x}$趋近于1,因此:
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sin^2 x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$$
所以,$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\cdot x=\dfrac{1}{2}\cdot 0=0$。
因此,$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=0$。