在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数2倍，为什么不能是一条边？

在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数2倍是一个已知的定理，称为握手定理。如果一个无向图只有一条边，那么这个图最多只有两个顶点，因为一条边只能连接两个顶点。如果该图只有两个顶点，那么这两个顶点的度数之和为2，而边数为1，不符合握手定理。因此，在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数2倍，不可能是一条边。

相关问题

无向图，所有定点的度数之和等于所有边数的多少倍

### 回答1：
这个结论是无向图的握手定理，也被称为“定理1”或“手谈定理”。

具体来说，设无向图 G 有 n 个顶点和 m 条边，每个顶点的度数为 d1, d2, ..., dn，则所有顶点的度数之和为：

d1 + d2 + ... + dn = 2m

这里的 2m 表示边数的两倍，因为每条边会贡献两个顶点的度数。这个式子可以通过数学归纳法证明，也可以通过计算每个顶点的度数得到。

例如，考虑一个简单的无向图，有 4 个顶点和 5 条边：

   1 -- 2
   |    |
   3 -- 4

其中，顶点 1 的度数为 2，顶点 2 的度数为 2，顶点 3 的度数为 2，顶点 4 的度数为 2。因此，所有顶点的度数之和为 2 + 2 + 2 + 2 = 8，而边数为 5。根据握手定理，8 等于 2 倍的边数，即 8 = 2 × 5。

握手定理可以应用于很多图论问题，例如判断无向图是否欧拉图，计算无向图的连通分量等。

### 回答2：
对于一个无向图，假设图中有n个顶点，m条边。每个顶点的度数即为与该顶点相邻的边的条数。

我们可以将所有边的条数记为E，所有顶点的度数之和记为D。

由于是无向图，每条边都连接了两个顶点，所以所有边数的两倍等于所有顶点的度数之和，即2E = D。

根据图中每个顶点的度数之和为E的两倍，我们可以推导出以下等式：

2E = D

将D代入这个等式，得到：

2E = 2E

两边相等，所以对于一个无向图来说，所有顶点的度数之和等于所有边数的两倍。

在题目中，我们并没有给出具体的图的信息，因此无法算出具体的数值。但无论是什么样的无向图，只要满足每条边连接了两个顶点，该等式都成立。

总结：对于一个无向图来说，所有顶点的度数之和等于所有边数的两倍。

### 回答3：
对于一个无向图，所有顶点的度数之和等于所有边的个数的两倍。

证明如下：
设无向图G有n个顶点和k条边。
每条边连接两个顶点，因此每个顶点的度数至少为1。
而每条边对应2个顶点的度数，所以每条边对应2个度数。

因此，所有顶点的度数之和为2k。
另一方面，由于每个顶点都至少与一条边相连，所以所有顶点的度数之和不少于n。

综上所述，所有顶点的度数之和不少于n，且等于2k，即所有顶点的度数之和等于所有边的个数的两倍。

如何用C语言构建一个无向图的邻接矩阵表示，并编写计算所有顶点度数的函数？

在C语言中，构建无向图的邻接矩阵表示并计算顶点度数，需要首先定义图的结构和相关操作函数。以下是一个详细的步骤和代码示例来实现这一过程。

参考资源链接：[C语言实现图的邻接矩阵存储及操作](https://wenku.csdn.net/doc/6412b66dbe7fbd1778d46b04?spm=1055.2569.3001.10343)

首先定义图的数据结构，包括邻接矩阵和顶点信息：

#define MAX_VER_NUM 100 // 最大顶点数

typedef struct {
    char vexs[MAX_VER_NUM]; // 顶点数组
    int arcs[MAX_VER_NUM][MAX_VER_NUM]; // 邻接矩阵
    int vexnum, arcnum; // 顶点数和边数
    int type; // 图的类型标志
} MGraph;

接着，实现一个函数来初始化图的邻接矩阵，将所有边的权重设置为0：

void InitMGraph(MGraph *MG) {
    MG->vexnum = 0;
    MG->arcnum = 0;
    MG->type = 0; // 初始化为无向图
    for (int i = 0; i < MAX_VER_NUM; i++) {
        for (int j = 0; j < MAX_VER_NUM; j++) {
            MG->arcs[i][j] = 0;
        }
    }
}

然后，实现一个函数来添加边，对于无向图来说，添加一条边时需要同时更新两个顶点之间的矩阵元素：

void InsertEdge(MGraph *MG, int start, int end) {
    if (start >= 0 && start < MG->vexnum && end >= 0 && end < MG->vexnum) {
        MG->arcs[start][end] = 1;
        MG->arcs[end][start] = 1; // 无向图中，边是对称的
        MG->arcnum++;
    }
}

最后，编写一个函数来计算无向图中每个顶点的度：

void CalculateDegrees(MGraph *MG) {
    for (int i = 0; i < MG->vexnum; i++) {
        int degree = 0;
        for (int j = 0; j < MG->vexnum; j++) {
            if (MG->arcs[i][j] == 1) {
                degree++;
            }
        }
        printf(

参考资源链接：[C语言实现图的邻接矩阵存储及操作](https://wenku.csdn.net/doc/6412b66dbe7fbd1778d46b04?spm=1055.2569.3001.10343)