【问题描述】 小明最近对数列特别感兴趣,尤其想研究一个数列中有多少个长度为k的递增子序列。一个序列<a_1… a_n>的子序列定义为<a_(i_1 )…a_(i_l )>,其中1≤i_1≤i_l≤n。 如果a_(i_(j-1) )<a_(i_j ),且所有1<j≤l,则子序列<a_(i_1 )…a_(i_l )>为递增子序列。 小明想请你帮忙计算数列中长度为k的递增子序列个数。 【输入形式】 输入包含1组测试用例。每组测试用例中第一行包含两个数字n和k(1≤k≤n≤100),其中n为数列长度,k为要计算的递增子序列长度。 接下来一行包括n个不同的整数a_i (-10000≤a_i≤10000),其中a_i是数列中的第i个数字。 【输出形式】 对于每组测试用例,输出一行输入序列包含的长度为k的递增子序列的数目。 【样例输入】 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【样例输出】 252
时间: 2024-04-12 20:28:08 浏览: 23
【问题分析】
对于长度为n的数列,我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示以第i个数字结尾的长度为j的递增子序列的个数。那么,我们可以得到如下的状态转移方程:
dp[i][j] = sum(dp[k][j-1]),其中k < i 且 a[k] < a[i]
最终答案即为sum(dp[i][k]),其中i从1到n。
【算法步骤】
1. 读取输入的n和k,以及数列a。
2. 初始化二维数组dp,长度为n+1行,k+1列,初始值为0。
3. 根据状态转移方程计算dp数组的值。
4. 计算答案,即sum(dp[i][k])。
【代码实现】
```python
def count_increasing_subsequences(n, k, a):
dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
dp[i][1] = 1
for i in range(2, n + 1):
for j in range(2, k + 1):
for l in range(1, i):
if a[l] < a[i]:
dp[i][j] += dp[l][j - 1]
ans = sum(dp[i][k] for i in range(1, n + 1))
return ans
# 读取输入
n, k = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))
# 计算并输出结果
result = count_increasing_subsequences(n, k, a)
print(result)
```
【复杂度分析】
该算法的时间复杂度为O(n^2 * k),其中n为数列长度,k为递增子序列的长度。空间复杂度为O(n * k)。由于n和k的范围都比较小,该算法可以在合理的时间内求解。
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