一维热传导方程的差分方程求解matlab实现代码

一维热传导方程的差分方程形式为:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x,t)$ 表示温度分布，$\alpha$ 表示热传导系数。将空间和时间离散化，我们可以得到差分方程:

$$\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t}=\alpha \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2}$$

其中 $i$ 表示空间上的节点编号，$j$ 表示时间上的节点编号，$\Delta x$ 和 $\Delta t$ 分别表示空间和时间上的离散步长。

根据初始条件和边界条件，我们可以求解出 $u_{i,j}$ 的值。具体实现代码如下：

% 空间和时间离散步长
dx = 0.01;
dt = 0.001;

% 空间网格数和时间步数
nx = 101;
nt = 10001;

% 热传导系数
alpha = 0.1;

% 初始条件
u0 = zeros(nx, 1);
u0(1) = 100;

% 边界条件
u_left = 0;
u_right = 0;

% 求解差分方程
u = u0;
for j = 1:nt-1
    u_next = u;
    for i = 2:nx-1
        u_next(i) = u(i) + alpha*dt/dx^2*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
    end
    u_next(1) = u_left;
    u_next(nx) = u_right;
    u = u_next;
end

% 绘制温度分布图像
x = linspace(0, 1, nx);
plot(x, u);
xlabel('x');
ylabel('Temperature');
title('Temperature Distribution');

代码中，我们使用了显式差分法来求解差分方程，每次迭代时都需要先计算出 $u_{i,j+1}$ 的值，然后再更新 $u_{i,j}$ 的值。最后，我们绘制了温度分布的图像。