差分法求解一维热传导方程MATLAB

一维热传导方程的数学模型为：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x,t)$ 表示热传导的温度分布，$\alpha$ 为热扩散系数。

采用差分法求解一维热传导方程，可以将空间和时间离散化，得到如下差分方程：

$$\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2}$$

其中，$u_{i,j}$ 表示在第 $j$ 个时间步长时，$x=i\Delta x$ 处的温度值。

按照差分方程进行迭代计算，即可得到数值解。

下面是使用 MATLAB 求解一维热传导方程的代码示例：

% 设置参数
L = 1; % 区间长度
T = 0.1; % 求解时间
alpha = 0.01; % 热扩散系数
dx = 0.01; % 空间步长
dt = 0.0001; % 时间步长
x = 0:dx:L; % 空间网格
t = 0:dt:T; % 时间网格
m = length(x); % 空间网格数
n = length(t); % 时间网格数

% 初始化边界条件和初始条件
u = zeros(m,n);
u(1,:) = 0; % 左边界
u(m,:) = 0; % 右边界
u(:,1) = sin(pi*x/L); % 初始条件

% 迭代计算
for j = 1:n-1
    for i = 2:m-1
        u(i,j+1) = u(i,j) + alpha*dt/(dx^2)*(u(i+1,j)-2*u(i,j)+u(i-1,j));
    end
end

% 绘图
for j = 1:n
    plot(x,u(:,j));
    axis([0 L -1 1]);
    xlabel('x');
    ylabel('u');
    drawnow;
end

在上述代码中，使用了显式差分法进行迭代计算。需要注意的是，显式差分法的稳定性条件为：

$$\frac{\alpha \Delta t}{(\Delta x)^2} \leq \frac{1}{2}$$

因此，需要根据求解的具体情况选择合适的时间步长和空间步长。