实验题2：采用普里姆算法求最小生成树 （一）实验目的：领会普里姆算法求带权连通图中最小生成树的过程和相关算法设计。

好的，让我来解答你的问题。

普里姆算法是一种求带权连通图最小生成树的贪心算法。它的基本思想是从一个起始点开始，每次选择与当前生成树相邻的、权值最小的边，直到生成树覆盖所有节点。与克鲁斯卡尔算法不同，普里姆算法从一个起始点开始，每次加入一个节点，直到生成树覆盖了所有节点。

以下是普里姆算法的具体步骤：

1. 任选一个节点作为起始点，将其加入生成树中。

2. 找到与当前生成树相邻的、未被加入生成树的节点中，权值最小的边，将其加入生成树中。

3. 重复步骤 2，直到生成树覆盖了所有节点。

普里姆算法可以用堆优化来提高效率，具体实现方式是用一个最小堆来存储与当前生成树相邻的、未被加入生成树的节点，堆顶元素即为权值最小的边，每次选择堆顶元素加入生成树即可。

希望这个回答能对你有所帮助。

相关问题

编写一个程序exp4-2.cpp，实现求带权连通图最小生成树的普里姆算法。对于如图2所示的带权连通图，输出从顶点0出发的一棵最小生成树。 其中exp4-2.cpp程序中包含如下函数： Prim(g,v):采用普里姆算法输出图g中从顶点v出发的一颗最小生成树。

好的，以下是exp4-2.cpp的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

const int MAXN = 100; // 最大节点数

struct Edge {
    int to, w; // 边的终点和权值
    Edge(int to, int w) : to(to), w(w) {}
};

vector<Edge> g[MAXN]; // 邻接表存储图
bool vis[MAXN]; // 记录每个节点是否被访问过

// 从顶点v开始，采用普里姆算法输出最小生成树
void Prim(vector<Edge> g[], int v) {
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;
    pq.push({0, v}); // 将起始点加入堆中
    int res = 0; // 记录最小生成树的总权值
    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top().second;
        int w = pq.top().first;
        pq.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = true;
        res += w;
        cout << "加入节点 " << u << ", 权值为 " << w << endl;
        for (auto e : g[u]) {
            int v = e.to, w = e.w;
            if (!vis[v]) pq.push({w, v});
        }
    }
    cout << "最小生成树的总权值为 " << res << endl;
}

int main() {
    g[0].push_back(Edge(1, 1));
    g[0].push_back(Edge(2, 3));
    g[1].push_back(Edge(0, 1));
    g[1].push_back(Edge(2, 1));
    g[1].push_back(Edge(3, 6));
    g[2].push_back(Edge(0, 3));
    g[2].push_back(Edge(1, 1));
    g[2].push_back(Edge(3, 1));
    g[2].push_back(Edge(4, 5));
    g[3].push_back(Edge(1, 6));
    g[3].push_back(Edge(2, 1));
    g[3].push_back(Edge(4, 2));
    g[4].push_back(Edge(2, 5));
    g[4].push_back(Edge(3, 2));
    Prim(g, 0);
    return 0;
}

该程序采用邻接表存储图，用一个bool数组vis记录每个节点是否被访问过。函数Prim采用堆优化的方式实现普里姆算法，其中priority_queue用于维护未被加入生成树的节点，pair<int, int>表示边的权值和终点，greater<pair<int, int>>表示按照边的权值从小到大排序。程序中给出了一个简单的带权连通图，从顶点0开始求一棵最小生成树。

采用普里姆算法求最小生成树

普里姆算法是一种经典的求解最小生成树的算法，其基本思想是从图中任意一个顶点开始，逐步将与之相邻的未加入生成树的边中权值最小的边加入生成树中，直到所有顶点都被加入为止。

具体实现步骤如下：
1. 选择任意一个顶点作为起点，将其标记为已访问。
2. 将与该顶点相邻的所有未访问的顶点与边添加到一个优先队列中，队列中的元素按照边的权值从小到大排序。
3. 从队列中选择权值最小的边，若该边连接的另一个顶点未被访问，则将该顶点标记为已访问，并将该边加入生成树中，否则丢弃该边。
4. 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。

这样，最终生成的树就是原图的最小生成树。