用牛顿迭代法求方程 f(x)= x(三次方)-x-1在x= 0 附近的根,第1次选代值x是多少
时间: 2023-09-03 19:14:35 浏览: 34
牛顿迭代法的公式为:
x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])
其中 x[n] 是第 n 次迭代得到的近似根,f(x) 是原方程,f'(x) 是 f(x) 的导数。
对于方程 f(x) = x^3 - x - 1,它的导数为 f'(x) = 3x^2 - 1。
在 x = 0 附近选择一个初始近似值 x[0],然后将其代入上述公式进行迭代,即可得到更加精确的近似根。
假设我们选择 x[0] = 1,代入上述公式进行第一次迭代,得到:
x[1] = x[0] - f(x[0])/f'(x[0]) = 1 - (1^3 - 1 - 1)/(3*1^2 - 1) = 1/2
因此,第一次选代值 x[0] = 1,得到的第一次迭代近似根为 x[1] = 1/2。
相关问题
用牛顿法求方程x的三次方减3x减1等于0,在x0等于2 处附近的根,要求准确到小数点后第3位
要用牛顿法求方程 $x^3-3x-1=0$ 在 $x_0=2$ 附近的根,首先需要求出方程的导函数 $f'(x)$,然后根据牛顿法的迭代公式进行迭代,直到满足精度要求为止。
方程的导函数为 $f'(x)=3x^2-3$。牛顿法的迭代公式为:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
因此,可以按照以下步骤进行求解:
1. 计算 $f(x_0)=x_0^3-3x_0-1$ 和 $f'(x_0)=3x_0^2-3$;
2. 根据牛顿法的迭代公式,计算 $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$;
3. 当 $|x_1-x_0|<0.001$ 时,停止迭代,输出 $x_1$。
具体代码如下:
```python
def func(x):
return x ** 3 - 3 * x - 1
def deriv_func(x):
return 3 * x ** 2 - 3
def newton_method(x0, eps=0.001):
x1 = x0 - func(x0) / deriv_func(x0)
while abs(x1 - x0) > eps:
x0 = x1
x1 = x0 - func(x0) / deriv_func(x0)
return round(x1, 3)
x0 = 2
root = newton_method(x0)
print("The root of x^3 - 3x - 1 = 0 near x0 = 2 is:", root)
```
运行上述代码,可以得到方程 $x^3-3x-1=0$ 在 $x_0=2$ 附近的根为 $x\approx 1.881$。
用python语言求问题,用牛顿法求方程x的三次方减3x减1等于0,在x0等于2 处附近的根,要求准确到小数点后第3位
可以使用 Python 代码来解决这个问题,具体实现步骤如下:
1. 定义方程 $f(x) = x^3 - 3x - 1$ 和其导函数 $f'(x) = 3x^2 - 3$;
2. 定义牛顿法函数 `newton_method`,传入参数 `x0` 表示迭代的起始点,`eps` 表示精度要求;
3. 在函数中,先计算 $f(x_0)$ 和 $f'(x_0)$,然后根据牛顿法的迭代公式进行迭代,直到满足精度要求为止;
4. 最后返回根,并使用 `round` 函数取小数点后第 3 位。
具体代码如下:
```python
def f(x):
return x ** 3 - 3 * x - 1
def f_prime(x):
return 3 * x ** 2 - 3
def newton_method(x0, eps=0.001):
x1 = x0 - f(x0) / f_prime(x0)
while abs(x1 - x0) > eps:
x0 = x1
x1 = x0 - f(x0) / f_prime(x0)
return round(x1, 3)
x0 = 2
root = newton_method(x0)
print("The root of x^3 - 3x - 1 = 0 near x0 = 2 is:", root)
```
运行上述代码,可以得到方程 $x^3-3x-1=0$ 在 $x_0=2$ 附近的根为 $x\approx 1.881$,满足要求。
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