正态分布具有未知的均值u，观测值如下所示1.40，1.50，1.38，1.89，0.5，1.46，1.81，1.33，0.50,1.09。要求构造u的置信度为97.5%、95%、90%的置信区间。请写出详细的计算步骤

根据中心极限定理，样本均值的分布近似为正态分布。因此，可以使用样本均值和样本标准差来构造置信区间。以下是构造置信区间的步骤：

1. 计算样本均值和样本标准差。

样本均值：X_bar = (1.40 + 1.50 + 1.38 + 1.89 + 0.5 + 1.46 + 1.81 + 1.33 + 0.50 + 1.09) / 10 = 1.305

样本标准差：s = sqrt([(1.40-1.305)^2 + (1.50-1.305)^2 + ... + (1.09-1.305)^2] / 9) = 0.503

2. 根据样本大小和置信水平查找t分布表或使用t分布函数计算t分布的临界值。

样本大小为n=10，置信度为97.5%，95%，90%时的t分布临界值如下：

置信度 临界值
97.5% 2.306
95% 2.262
90% 1.833

3. 计算置信区间。

置信区间的计算公式为：

置信区间 = 样本均值 ± t分布临界值 * 样本标准误

其中，样本标准误为：标准误 = 样本标准差 / sqrt(n)

因此，置信度为97.5%、95%、90%的置信区间分别为：

置信度 置信区间
97.5% 1.305 ± 0.819 * (0.503 / sqrt(10)) = (0.896, 1.714)
95% 1.305 ± 0.718 * (0.503 / sqrt(10)) = (0.960, 1.650)
90% 1.305 ± 0.606 * (0.503 / sqrt(10)) = (1.020, 1.590)

因此，可以以97.5%、95%、90%的置信度得到未知均值u的置信区间分别为(0.896, 1.714)，(0.960, 1.650)，(1.020, 1.590)。