平面三角形有向面积公式

平面三角形的有向面积公式通常是基于向量的叉乘（也称为向量积）。如果给定一个三角形的两个边作为向量$\vec{u}$和$\vec{v}$，则三角形的面积$A$可以通过下面的公式计算[^1]：

$$ A = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| $$

其中$|\cdot|$表示向量的模（长度），$\times$表示向量的叉乘运算。这个公式表明，三角形的面积等于两个边形成的平行四边形面积的一半。

举个例子，在C#中，如果你有一个三角形，可以用它的两个顶点坐标$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$来构建对应的向量，然后应用上述公式[^2]：

double x1, y1, x2, y2; // 假设这是三角形两边的端点坐标
Vector2 u = new Vector2(x2 - x1, y2 - y1);
Vector2 v = new Vector2(x3 - x1, y3 - y1); // 假设第三个顶点为(x3, y3)
double area = 0.5 * Math.Abs(u.X * v.Y - u.Y * v.X);

这里`Vector2`类可能需要你自己定义或使用库中的向量类来执行叉乘操作。

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平面任意多边形面积计算公式

平面任意多边形面积计算公式可以通过将多边形划分为若干个三角形来计算，具体公式为：

S = |(x1y2 + x2y3 + ... + xn-1yn + xn y1) - (y1x2 + y2x3 + ... + yn-1xn + ynx1)| / 2

其中，(xi, yi) 表示多边形的顶点坐标，n 表示多边形的边数。这个公式叫做叉积法计算多边形面积，其实现原理是通过将多边形分割为若干个三角形，并计算每个三角形的面积，最终将其相加得到多边形的面积。

7. 平面坐标系中如何快速求三角形面积

在平面直角坐标系中，假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的面积S可以通过以下公式求得：

S = |(x1y2+x2y3+x3y1) - (x1y3+x2y1+x3y2)| / 2

其中，|...|表示绝对值，即取其正值。

这个公式的推导过程可以用叉积来解释，即将向量AB和AC的叉积的绝对值除以2。具体来说，可以将向量AB和AC表示为：

AB = (x2-x1, y2-y1)
AC = (x3-x1, y3-y1)

则它们的叉积的绝对值即为：

|AB x AC| = |x1y2+x2y3+x3y1 - x1y3-x2y1-x3y2|

最后将其除以2即可得到三角形的面积S。

需要注意的是，这个公式只适用于顶点按照逆时针方向依次排列的三角形，如果顶点的排列顺序与此不一致，则可以通过将顶点任意两个相邻的顺序交换来满足此条件。