python Nystrom近似

Nystrom近似是一种用于内核低秩逼近的方法，通过采样的方式构建一个低秩矩阵来近似表示原核矩阵，从而降低了核矩阵在计算中的运算代价。同时，Nystrom近似还可以得到核空间中样本的向量表示。

关于Python中的Nystrom近似，可以使用RLS-Nyström方法进行实现。具体的实现代码可以在相关的Python代码库中找到，如引用所提到的RLS-Nyström方法的Python实现。

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相关问题

采用序贯抽样的nystrom谱聚类代码实现

下面是采用序贯抽样的 Nystrom 谱聚类的 Python 代码实现：

import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans

class NystromSpectralClustering:
    def __init__(self, n_components=100, n_clusters=8):
        self.n_components = n_components
        self.n_clusters = n_clusters
        
    def fit_predict(self, X):
        n_samples, n_features = X.shape
        
        # 1. 采样 m 个数据点
        idx = np.random.choice(n_samples, self.n_components, replace=False)
        X_subset = X[idx]
        
        # 2. 计算采样点之间的相似度矩阵
        W_subset = self.compute_similarity_matrix(X_subset)
        
        # 3. 计算采样点与全部数据点之间的相似度矩阵
        W = self.compute_similarity_matrix(X, X_subset)
        
        # 4. 计算拉普拉斯矩阵
        D = np.diag(np.sum(W, axis=1))
        L = D - W
        
        # 5. 计算 Nystrom 近似特征值和特征向量
        eigvals_subset, eigvecs_subset = np.linalg.eig(W_subset)
        eigvals_subset = np.real(eigvals_subset)
        eigvecs_subset = np.real(eigvecs_subset)
        eigvecs_subset = eigvecs_subset / np.linalg.norm(eigvecs_subset, axis=0)
        W_half = np.diag(np.sqrt(1 / np.diag(D)))
        Q = np.dot(np.dot(W_half, W), W_half)
        eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(Q)
        eigvals = np.real(eigvals)
        eigvecs = np.real(eigvecs)
        idx = np.argsort(eigvals)[::-1]
        eigvals = eigvals[idx][:self.n_clusters]
        eigvecs = eigvecs[:, idx][:, :self.n_clusters]
        eigvecs = np.dot(W_half, eigvecs)
        eigvecs = eigvecs / np.linalg.norm(eigvecs, axis=0)
        eigvecs = np.dot(eigvecs_subset, eigvecs)
        
        # 6. K-means 聚类
        kmeans = KMeans(n_clusters=self.n_clusters)
        labels = kmeans.fit_predict(eigvecs)
        
        return labels
    
    def compute_similarity_matrix(self, X, Y=None):
        if Y is None:
            Y = X
        
        dist = np.sum(X**2, axis=1).reshape(-1, 1) + np.sum(Y**2, axis=1) - 2 * np.dot(X, Y.T)
        sigma = np.median(dist)
        W = np.exp(-dist / sigma)
        
        return W

这个类的 `fit_predict` 方法接收一个 $n \times d$ 的数据矩阵 $X$，其中 $n$ 是样本数，$d$ 是特征数。它的返回值是一个长度为 $n$ 的向量，表示每个样本所属的聚类簇的标签。

在 `fit_predict` 方法中，我们首先采样 $m$ 个数据点，然后计算这 $m$ 个点之间的相似度矩阵 $W_{m \times m}$。接着，我们计算这 $m$ 个点与全部 $n$ 个点之间的相似度矩阵 $W_{n \times m}$。然后，我们用这两个矩阵计算拉普拉斯矩阵 $L = D - W$，其中 $D$ 是度数矩阵。接着，我们计算 Nystrom 近似的特征值和特征向量，最后用 K-means 算法对特征向量进行聚类。

需要注意的是，我们在计算相似度矩阵时，采用了高斯核函数。其中，高斯核函数的带宽参数 $\sigma$ 取相似度矩阵的中位数。

使用这个类时，只需要创建一个实例，然后调用 `fit_predict` 方法即可。例如：

model = NystromSpectralClustering(n_components=100, n_clusters=8)
labels = model.fit_predict(X)