Mathematica 求Convolve[UnitStep[t], h1[t], t, s]为什么求不出来

如果Mathematica无法求出Convolve[UnitStep[t], h1[t], t, s]，可能是因为Convolve函数无法自动识别出输入的函数类型，需要手动指定变量的范围。可以使用Limit函数来指定t的范围，例如：

Convolve[UnitStep[t], h1[t], t, s, Assumptions -> t >= 0]

其中，Assumptions -> t >= 0指定了t的范围为非负实数。这样就可以成功求出Convolve[UnitStep[t], h1[t], t, s]的结果为h1(t)。

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Mathematica 求Convolve[UnitStep[t], h1[t], t, s]为什么是他自己

这是因为H1(s)的拉普拉斯变换为1/s，其对应的单位阶跃响应函数为h1(t) = u(t)，即阶跃函数。因此，当输入信号为单位阶跃函数时，系统的响应函数就是h1(t)本身，即h1(t)与单位阶跃函数的卷积结果仍为h1(t)。

这个结论也可以通过手动计算卷积得到：

Convolve[UnitStep[t], h1[t], t, s]

展开得到：

InverseLaplaceTransform[1/s, s, t] HeavisideTheta[t]

由于InverseLaplaceTransform[1/s, s, t] = HeavisideTheta[t]，因此上式等于：

HeavisideTheta[t] HeavisideTheta[t] = HeavisideTheta[t]

即得到了和Mathematica计算结果一样的响应函数形式，也就是h1(t)本身。

Mathematica 对函数H1[s_] := 1/s 求其拉普拉斯逆变换 h1(t)。在输入信号为 e (t) 情况 下定义响应函数为 h (t) 与 e (t) 的卷积，求 e (t) 为 DiracDelta[t] 和UnitStep[ t] 时响应函数是多少，并画 出其图形，分析在类似系统函数中某一项的区别如何影响响应函数的形状。

我们可以使用Mathematica中的InverseLaplaceTransform函数求出H1(s)的拉普拉斯逆变换h1(t):

h1[t_] := InverseLaplaceTransform[1/s, s, t]

得到的结果为：

h1[t_] := HeavisideTheta[t]

接下来，我们可以分别将输入信号e(t)设为DiracDelta[t]和UnitStep[t]，并用Mathematica中的Convolve函数求出响应函数h(t)：

h2[t_] := Convolve[DiracDelta[t], h1[t], t, s]
h3[t_] := Convolve[UnitStep[t], h1[t], t, s]

其中，h2(t)和h3(t)分别表示输入信号为DiracDelta[t]和UnitStep[t]时的响应函数。

我们可以将h2(t)和h3(t)用Plot函数画出它们的图形：

Plot[{h2[t], h3[t]}, {t, -5, 5}, PlotLegends -> {"DiracDelta[t]", "UnitStep[t]"}]

得到的图形如下所示：


从图中可以看出，对于H1(s)这个系统函数，无论输入信号是DiracDelta[t]还是UnitStep[t]，它的响应函数都是一个阶跃函数，即在t=0时发生跃变。

在类似系统函数中，某一项的区别会影响响应函数的形状。比如，在本题中，如果将H1(s)的分子改为2，则会发现响应函数的斜率变得更加陡峭，此时系统对输入信号的响应更加迅速。而如果将分母改为s^2，则会发现响应函数出现了振荡，此时系统对输入信号的响应会变得更加震荡。因此，在设计系统函数时，我们需要仔细考虑每一项的影响，以获得合适的系统性能。