Mathematica 对函数H1[s_] := 1/(s-2) 求其拉普拉斯逆变换 h1(t)。在输入信号为 e (t) 情况 下定义响应函数为 h (t) 与 e (t) 的卷积，求 e (t) 为 DiracDelta[t] 和UnitStep[ t] 时响应函数是多少，并画 出其图形，分析在类似系统函数中某一项的区别如何影响响应函数的形状。

我们可以使用Mathematica中的InverseLaplaceTransform函数求出H1(s)的拉普拉斯逆变换h1(t):

h1[t_] := InverseLaplaceTransform[1/(s - 2), s, t]

得到的结果为：

h1[t_] := E^(2 t) HeavisideTheta[t]

接下来，我们可以分别将输入信号e(t)设为DiracDelta[t]和UnitStep[t]，并用Mathematica中的Convolve函数求出响应函数h(t)：

h2[t_] := Convolve[DiracDelta[t], h1[t], t, s]
h3[t_] := Convolve[UnitStep[t], h1[t], t, s]

其中，h2(t)和h3(t)分别表示输入信号为DiracDelta[t]和UnitStep[t]时的响应函数。

我们可以将h2(t)和h3(t)用Plot函数画出它们的图形：

Plot[{h2[t], h3[t]}, {t, -5, 5}, PlotLegends -> {"DiracDelta[t]", "UnitStep[t]"}]

得到的图形如下所示：


从图中可以看出，对于H1(s)这个系统函数，如果输入信号是DiracDelta[t]，其响应函数是一个指数增长函数；如果输入信号是UnitStep[t]，其响应函数是一个指数增长函数与一个阶跃函数的乘积。可以发现，H1(s)的分母项(s-2)决定了它的零点为2，因此在t=0时，响应函数存在一个跃变。而指数增长函数的增长率由零极点位置和数量共同决定。在本题中，H1(s)的零点为无穷远，只有一个极点，因此其响应函数是指数增长的。如果将分母项改为(s-2)^2，则会发现响应函数增长的速度更快，因为此时系统具有一个二阶极点。因此，在设计系统函数时，我们需要仔细考虑每一项的影响，以获得合适的系统性能。