已知方程组 10 -2 -2 -2 10 -1 -1 -2 3 1 0.5 1 构造简单迭代和seidel迭代法的迭代格式，讨论这些迭代格式的收敛性

简单迭代法的迭代格式：
$$
\begin{cases}
x_1^{(k+1)} = \dfrac{1}{10}(2x_2^{(k)}+2x_3^{(k)}+2x_4^{(k)}-10)\\
x_2^{(k+1)} = \dfrac{1}{10}(2x_1^{(k+1)}+x_3^{(k)}+x_4^{(k)}+1)\\
x_3^{(k+1)} = \dfrac{1}{3}(-x_1^{(k+1)}-x_2^{(k+1)})\\
x_4^{(k+1)} = \dfrac{1}{2}(-0.5x_1^{(k+1)}-x_2^{(k+1)})
\end{cases}
$$

Seidel迭代法的迭代格式：
$$
\begin{cases}
x_1^{(k+1)} = \dfrac{1}{10}(2x_2^{(k)}+2x_3^{(k)}+2x_4^{(k)}-10)\\
x_2^{(k+1)} = \dfrac{1}{10}(2x_1^{(k+1)}+x_3^{(k)}+x_4^{(k)}+1)\\
x_3^{(k+1)} = \dfrac{1}{3}(-x_1^{(k+1)}-x_2^{(k+1)})\\
x_4^{(k+1)} = \dfrac{1}{2}(-0.5x_1^{(k+1)}-x_2^{(k+1)})
\end{cases}
$$

对于简单迭代法，我们可以通过谱半径来判断其收敛性。设$A$为系数矩阵，则迭代矩阵为$\mathbf{T}= \mathbf{I} - \mathbf{D}^{-1} \mathbf{A}$，其中$\mathbf{D}$为$A$的对角线矩阵。
$$
\mathbf{T}=
\begin{bmatrix}
0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\
\frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{10} & \frac{1}{10}\\
-\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} & 0 & 0\\
-0.25 & -0.25 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
计算得到其谱半径为$\rho(\mathbf{T})=0.416<1$，因此简单迭代法是收敛的。

对于Seidel迭代法，其迭代矩阵为$\mathbf{T}= (\mathbf{L}+\mathbf{D})^{-1} \mathbf{U}$，其中$\mathbf{L}$为$A$的下三角部分，$\mathbf{U}$为$A$的上三角部分，$\mathbf{D}$为$A$的对角线部分。
$$
\mathbf{T}=
\begin{bmatrix}
0 & \frac{1}{50} & \frac{1}{50} & \frac{5}{100}\\
0 & 0 & -\frac{1}{300} & -\frac{5}{600}\\
0 & 0 & 0 & \frac{3}{20}\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
计算得到其谱半径为$\rho(\mathbf{T})=0$，因此Seidel迭代法是收敛的，并且比简单迭代法更快收敛。