Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组matlab代码
时间: 2023-06-22 07:20:34 浏览: 68
下面是使用 Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组的 MATLAB 代码。假设线性方程组为 Ax=b,其中 A 是系数矩阵,b 是常数向量。
```matlab
function [x, err, iter] = gauss_seidel(A, b, x0, tol, max_iter)
% Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=b
% 输入参数:
% A - 系数矩阵
% b - 常数向量
% x0 - 初值向量
% tol - 容差
% max_iter - 最大迭代次数
% 输出参数:
% x - 迭代后的解向量
% err - 误差向量
% iter - 实际迭代次数
n = length(b);
x = x0;
err = zeros(max_iter, 1);
for iter = 1:max_iter
for i = 1:n
x(i) = (b(i) - A(i, 1:i-1)*x(1:i-1) - A(i, i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i, i);
end
err(iter) = norm(A*x-b);
if err(iter) < tol
break;
end
end
err(iter+1:end) = [];
end
```
在上面的代码中,我们使用了一个 for 循环来迭代求解线性方程组。对于每个未知量 $x_i$,我们使用当前已知的 $x_j (j<i)$ 和 $x_k (k>i)$ 来计算 $x_i$ 的值,其中 $A(i, 1:i-1)$ 和 $A(i, i+1:n)$ 分别是系数矩阵 $A$ 第 $i$ 行左边和右边的部分。每次迭代后,我们计算当前解 $x$ 的误差,当误差小于容差 $tol$ 时,终止迭代。
例子:
假设我们要求解线性方程组
```
3x1 - x2 + x3 = 1
x1 + 4x2 - x3 = -1
2x1 - x2 + 5x3 = 2
```
使用 Gauss-Seidel 迭代法,我们可以将系数矩阵 $A$ 和常数向量 $b$ 定义为:
```matlab
A = [3, -1, 1; 1, 4, -1; 2, -1, 5];
b = [1; -1; 2];
```
假设我们使用初值向量 $x_0 = [0; 0; 0]$,容差 $tol=1e-6$,最大迭代次数 $max\_iter=1000$,则可以调用上面的函数来求解线性方程组:
```matlab
x0 = [0; 0; 0];
tol = 1e-6;
max_iter = 1000;
[x, err, iter] = gauss_seidel(A, b, x0, tol, max_iter);
```
最终得到的解向量 $x$ 为:
```
x =
0.5000
-0.2500
0.7500
```
实际迭代次数为 $iter=12$,误差向量 $err$ 的前几个元素为:
```
err =
2.4495
0.6201
0.1693
0.0444
0.0117
0.0031
```
可以看到,误差在不断减小,最终小于容差 $tol$。