有f(x)=[2,3,4,5],求其离散傅里叶变换结果。(x为0,1,2,3)
时间: 2023-10-09 16:07:58 浏览: 50
根据离散傅里叶变换的公式:
$$ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi nk/N},\ \ \ k=0,1,\ldots,N-1 $$
其中,$x_n$ 为原始序列,$N$ 为序列长度,$X_k$ 为变换后的结果,$j$ 为虚数单位。
对于给定的 $f(x)=[2,3,4,5]$,$N=4$,则离散傅里叶变换的结果为:
$$ X_0 = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{0} = 2+3+4+5 = 14 $$
$$ X_1 = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{-j\pi n/2} = 2-j3-4+5j = (-2-3j) $$
$$ X_2 = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{-j\pi n} = 2-3+4-5 = -2 $$
$$ X_3 = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{-j3\pi n/2} = 2+j3-4-5j = (-2+3j) $$
因此,离散傅里叶变换的结果为 $[14, -2-3j, -2, -2+3j]$。
相关问题
有f(x)=[2,3,4,5],求其离散傅里叶变换结果。(x为0,1,2,3)。
离散傅里叶变换(DFT)的公式为:
$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\cdot e^{-i2\pi kn/N}$
其中,$x_0,x_1,\cdots,x_{N-1}$ 为原始序列,$X_0,X_1,\cdots,X_{N-1}$ 为变换后的序列,$k=0,1,\cdots,N-1$。
对于给定的 $f(x)=[2,3,4,5]$,其长度 $N=4$,则有:
$X_0=\sum_{n=0}^{3}x_n\cdot e^{-i2\pi 0n/4}=2+3+4+5=14$
$X_1=\sum_{n=0}^{3}x_n\cdot e^{-i2\pi 1n/4}=2-3i-4+5i=3-i$
$X_2=\sum_{n=0}^{3}x_n\cdot e^{-i2\pi 2n/4}=2-5+4-3=-2$
$X_3=\sum_{n=0}^{3}x_n\cdot e^{-i2\pi 3n/4}=2+3i-4-5i=-4-2i$
因此,$f(x)$ 的离散傅里叶变换结果为 $X=[14,3-i,-2,-4-2i]$。
求一个尺寸为2*2的矩阵函数f(x,y)的离散傅里叶变换
好的,函数f(x,y)在尺寸为2x2的矩阵上可以表示为:
```
f(x,y) = [ f(0,0) f(0,1) ]
[ f(1,0) f(1,1) ]
```
其离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)可以表示为:
```
F(u,v) = ∑∑ f(x,y) * e^(-2πi(ux+vy)/N)
x=0 y=0
```
其中,N表示矩阵的尺寸,u和v为频率变量,e为自然对数的底数。将上式带入矩阵f(x,y)的值,得到:
```
F(u,v) = f(0,0)*e^(-2πiu*0/N)*e^(-2πiv*0/N) + f(0,1)*e^(-2πiu*0/N)*e^(-2πiv*1/N) + f(1,0)*e^(-2πiu*1/N)*e^(-2πiv*0/N) + f(1,1)*e^(-2πiu*1/N)*e^(-2πiv*1/N)
```
化简上式,得到:
```
F(u,v) = f(0,0) + f(0,1)*e^(-2πiv/N) + f(1,0)*e^(-2πiu/N) + f(1,1)*e^(-2πiu/N)*e^(-2πiv/N)
```
这就是函数f(x,y)的离散傅里叶变换。