利用Dijkstra算法求顶点V0到其他各顶点之间的最短路径以及最短路径长度。

首先，给定一个加权有向图，假设我们要求从顶点V0到其他各顶点之间的最短路径。我们可以使用Dijkstra算法来解决这个问题。下面是Dijkstra算法的步骤：

1. 创建两个集合S和Q。S表示已经找到最短路径的顶点集合，Q表示还未找到最短路径的顶点集合。

2. 初始化距离数组dist，表示从V0到其他各顶点的距离。对于V0, dist[V0]=0；对于其他各顶点，dist[i]=无穷大。

3. 将V0加入集合S，将其他顶点加入集合Q。

4. 对于V0的邻居节点i，更新dist[i]，即dist[i]=weight(V0,i)，其中weight(V0,i)表示从V0到i的边的权重。

5. 从Q中选择dist值最小的顶点u，将u加入集合S，从Q中删除u。

6. 对于u的每个邻居节点v，如果v不在集合S中，更新dist[v]，即dist[v]=min{dist[v],dist[u]+weight(u,v)}，其中weight(u,v)表示从u到v的边的权重。

7. 重复步骤5-6直到集合Q为空。

8. 最短路径长度为dist数组中的值，最短路径可以通过记录每个顶点的前驱节点来生成。

下面是一个示例，假设有以下加权有向图：


我们要求从顶点V0到其他各顶点之间的最短路径。

1. 创建集合S和Q。初始状态：S={V0}，Q={V1,V2,V3,V4,V5}。

2. 初始化dist数组。dist[V0]=0，其他各顶点dist[i]=无穷大。

3. 对于V0的邻居节点，更新dist数组。dist[V1]=10，dist[V2]=5，dist[V3]=无穷大，dist[V4]=无穷大，dist[V5]=无穷大。

4. 从Q中选择dist值最小的顶点V2，将其加入集合S。更新dist数组。dist[V3]=11，dist[V4]=15，dist[V5]=9。

5. 从Q中选择dist值最小的顶点V5，将其加入集合S。更新dist数组。dist[V4]=14。

6. 从Q中选择dist值最小的顶点V1，将其加入集合S。更新dist数组。dist[V3]=9。

7. 从Q中选择dist值最小的顶点V3，将其加入集合S。更新dist数组。没有需要更新的dist值了。

8. 最短路径长度为dist数组中的值，最短路径可以通过记录每个顶点的前驱节点来生成。例如，V1的前驱节点为V2，V2的前驱节点为V0，V3的前驱节点为V1，V4的前驱节点为V5，V5的前驱节点为V0。

因此，从顶点V0到其他各顶点之间的最短路径以及最短路径长度分别为：

| 顶点 | 最短路径 | 最短路径长度 |
| --- | --- | --- |
| V0 | - | 0 |
| V1 | V0 -> V2 -> V1 | 15 |
| V2 | V0 -> V2 | 5 |
| V3 | V0 -> V2 -> V1 -> V3 | 14 |
| V4 | V0 -> V5 -> V4 | 23 |
| V5 | V0 -> V5 | 9 |