用公理系统的公理证明((A→B)→A)→A
时间: 2024-06-18 10:05:51 浏览: 10
这是一个著名的逻辑学公式,也称为“演绎定理”,其证明过程如下:
1. 假设 (A→B)→A 成立,即前提 (A→B) 成立,则需证明 A 也成立。
2. 假设 A 不成立,则 (A→B) 的前提不成立,因此根据逻辑推理可得出整个前提 (A→B)→A 也不成立,与前提矛盾。
3. 因此,假设 A 不成立是错误的,即 A 成立。
4. 综上所述,证明了公式 ((A→B)→A)→A 的正确性。
相关问题
用公理系统证明((A→B)→A)→A
要证明((A→B)→A)→A,我们可以使用公理系统中的三条公理以及推理规则,进行证明:
1. 公理1:A→(B→A)
2. 公理2:(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
3. 公理3:(¬A→¬B)→(B→A)
首先,根据公理1,我们可以得到:
(A → B) → (A → (A → B))
然后,我们可以利用公理2将(A → (A → B))转化为((A → B) → A) → ((A → B) → A),即:
(A → B) → ((A → (A → B)) → A)
(A → B) → ((A → B) → A)
接下来,我们可以使用公理3将((A → B) → A)转化为(¬(¬A∨B)∨A),即:
(¬(¬(A→B)∨A)∨A)
因为 ¬(¬X∨Y) ≡ X∧¬Y,所以有:
((A→B)∧¬A)∨A
再根据合取范式可知:
((A→B)∨A) ∧ (¬A∨A)
而(¬A∨A)为永真式,因此简化为:
(A→B)∨A
最后,根据分离析取律可得:
(A→B)∨A
A
综上所述,我们证明了((A→B)→A)→A。
仅使用命题逻辑公理系统证明(¬Q → Q )→ Q
我们可以使用命题逻辑公理系统中的三个公理和两个推理规则来证明 (¬Q → Q) → Q:
公理1:A → (B → A)
公理2:(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
公理3:(¬A → ¬B) → (B → A)
推理规则1:Modus Ponens (MP)
如果 A 和 A → B 都是真的,则可以得出 B 是真的。
推理规则2:Modus Tollens (MT)
如果 A → B 和 ¬B 都是真的,则可以得出 ¬A 是真的。
证明:
1. 假设 (¬Q → Q) 为真且 Q 为假。
2. 根据公理1,我们有 Q → (¬Q → Q)。
3. 根据 Modus Ponens,从 1 和 2 可以得出 (¬Q → Q) 为假,与我们的假设矛盾。
4. 因此,我们得出 Q 为真。
5. 根据公理2,我们有 (¬Q → Q) → ((¬Q → Q) → Q)。
6. 根据 Modus Ponens,从 5 和 1 可以得出 ((¬Q → Q) → Q) 为真。
7. 因此,我们得出 (¬Q → Q) → Q 为真。
因此,我们使用命题逻辑公理系统证明了 (¬Q → Q) → Q。
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