为什么因为A是对称正定矩阵，所以它的特征值都是正的。而如果d1,d2,...,dn是A共轭的，则它们对应的特征向量也是共轭的。因此，如果它们线性相关，则存在一个非零向量x，使得Ax=0。但是，由于A的特征值都是正的，所以这是不可能的。因此，d1,d2,...,dn是线性无关的。

因为对称正定矩阵的特征值都是正的，所以如果d1,d2,...,dn是A共轭的，它们对应的特征向量也是共轭的。如果它们线性相关，则存在一个非零向量x，使得Ax=0。但是，由于A的特征值都是正的，所以这是不可能的。因此，d1,d2,...,dn是线性无关的。

相关问题

1设A∈Rnxn是对称正定矩阵，若非零向量组d1,d2,...,dn是A共轭的，则它们是线性无关的.请用反证法证明这个结论

假设向量组d1,d2,...,dn是线性相关的，则存在不全为零的实数c1,c2,...,cn，使得c1d1+c2d2+...+cndn=0。

由于向量组d1,d2,...,dn是A共轭的，因此有d1^TAd2=d2^TAd1，d1^TAd3=d3^TAd1，...，dn-1^TAdn=dn^TAdn-1。

将向量组d1,d2,...,dn代入上式，得到：

c1d1^TAd2+c2d2^TAd1+c3d1^TAd3+c4d2^TAd3+...+cn-1dn-1^TAdn+cndn^TAdn-1=0

将上式左右两边同时乘以向量组d1,d2,...,dn的转置，得到：

c1(d1^TAd1)+c2(d2^TAd2)+...+cn(dn^TAdn)=0

由于A是对称正定矩阵，因此对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。

因此，对于向量组d1,d2,...,dn中的任意一个向量di，都有di^TAdi>0。

因此，c1(d1^TAd1)+c2(d2^TAd2)+...+cn(dn^TAdn)>0。

这与上式得到的结果矛盾，因此假设不成立，向量组d1,d2,...,dn是线性无关的。

证毕。

对称正定矩阵分解出来的哪个是特征值和特征向量

### 回答1：
对称正定矩阵可以进行特征值分解，得到的特征向量和特征值是：

1. 特征向量：对称正定矩阵的特征向量是指在矩阵进行线性变换后，仍然在原来的方向上的非零向量。特征向量在特征值分解中扮演着非常重要的角色，它们构成了矩阵的特征向量空间。

2. 特征值：对称正定矩阵的特征值是指在特征向量进行线性变换时，每个特征向量所对应的比例因子。特征值是一个实数，它可以为正、零或负。在特征值分解中，特征值与特征向量是一一对应的。

通常我们会将特征向量按照对应的特征值大小降序排列，这样可以得到一个按照重要性排序的特征向量矩阵，这个矩阵可以用来进行降维、数据压缩和数据可视化等操作。

### 回答2：
对称正定矩阵的特征值和特征向量在其分解过程中都能得到。

对称正定矩阵能够进行特征值分解，即将其分解为特征值和特征向量的乘积形式。特征值是一个实数，特征向量则是一个非零向量。特征向量具有一些重要的性质，例如不变性和正交性。

在特征值分解中，我们通过求解矩阵的特征方程来得到特征值。特征方程为 det(A-λI)=0，其中A是对称正定矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。解特征方程可以得到对称正定矩阵的n个特征值。特征值代表了矩阵在特定方向上的缩放因子。

而特征向量则是在满足特征方程的特征值下，通过解线性方程组(A-λI)x=0得到的非零解向量。一个对称正定矩阵有n个线性无关的特征向量，可以组成一个正交矩阵，使得A可以表示为特征值与特征向量的乘积形式。

总结起来，对称正定矩阵的特征值和特征向量都是在其分解过程中得到的。特征值是通过求解矩阵的特征方程得到的，代表了矩阵在特定方向上的缩放因子；而特征向量是通过解特征值所满足的线性方程组得到的，代表了矩阵在对应特征值方向上的特殊几何性质。

### 回答3：
对称正定矩阵的特征值和特征向量的性质如下：

特征值是一个实数λ，表示矩阵在特征向量上的伸缩因子。

特征向量是一个非零向量v，表示矩阵在这个方向上的伸缩。

对称正定矩阵是指矩阵A满足A的转置等于自身，且对于所有非零向量x都有x^T * A * x > 0。

对称正定矩阵可以进行特征值分解，即将矩阵A分解为A = Q * Λ * Q^T，其中Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角线上的元素为矩阵A的特征值。

特征向量可以由特征值和矩阵A求得，即对于每一个特征值λ，解方程(A - λI) * v = 0，其中I为单位矩阵，v为对应的特征向量。特征向量可以通过特征值归一化得到。

因此，对称正定矩阵分解出来的特征值和特征向量分别对应矩阵A的特征值和特征向量，特征向量可以由特征值求得。特征值和特征向量对于分析和描述矩阵A的性质和变换具有重要意义。特征值表示变换的伸缩因子，而特征向量表示变换的方向。特征值和特征向量的分解使得对称正定矩阵的分析和应用变得更加方便和简洁。