常微分方程y“(x)+2y'(x)+4y(x)=sin(2x)的解为,并给出代码
时间: 2023-10-28 17:05:48 浏览: 36
可以使用 MATLAB 中的 dsolve 函数求解常微分方程。首先需要将二阶微分方程转化为一阶矢量形式,然后输入到 dsolve 函数中进行求解。
具体步骤如下:
1. 定义符号变量 x、y1 和 y2,分别表示自变量和两个未知函数。
2. 定义一个一阶矢量函数 F,其中 F(1) = y1',F(2) = y2',F(3) = -2*y1-4*y2+sin(2*x)。
3. 调用 dsolve 函数求解常微分方程,得到 y1 和 y2 的解。
4. 可以使用 ezplot 函数将解绘制成曲线。
MATLAB 代码如下:
```matlab
syms x y1(x) y2(x)
F = [y1; y2; -2*y1-4*y2+sin(2*x)];
sol = dsolve(diff([y1; y2], x) == F, [y1(0); y2(0)] == [0; 0]);
y1Sol = sol.y1;
y2Sol = sol.y2;
ezplot(y1Sol, [0, 10]); % 绘制 y1 的解
hold on;
ezplot(y2Sol, [0, 10]); % 绘制 y2 的解
legend('y1', 'y2');
```
运行该代码,即可得到 y1 和 y2 的解,并将其绘制成曲线。
相关问题
常微分方程y“(x)+2y'(x)+4y(x)=sin(2x)的解为
常微分方程 y''(x) + 2y'(x) + 4y(x) = sin(2x) 是一个非齐次线性微分方程。可以使用特征方程法求解其对应的齐次线性微分方程 y''(x) + 2y'(x) + 4y(x) = 0 的通解,再利用待定系数法求解非齐次线性微分方程的一个特解,将两者相加即可得到原微分方程的通解。
首先求解齐次线性微分方程 y''(x) + 2y'(x) + 4y(x) = 0 的通解。其特征方程为 r^2 + 2r + 4 = 0,解得 r1 = -1-3i,r2 = -1+3i。因此,齐次线性微分方程的通解为 y(x) = c1*e^(-x)*cos(3x) + c2*e^(-x)*sin(3x),其中 c1 和 c2 是任意常数。
然后求解非齐次线性微分方程的一个特解。观察右侧的非齐次项 sin(2x),发现其形式为 sin(ax) 或 cos(ax) 的线性组合。因此,可以猜测一个特解的形式为 y_p(x) = A*sin(2x) + B*cos(2x),其中 A 和 B 是待定系数。将该特解带入原微分方程中,解得 A = -1/10,B = 0。因此,非齐次线性微分方程的一个特解为 y_p(x) = -(1/10)*sin(2x)。
最终,原微分方程的通解为 y(x) = c1*e^(-x)*cos(3x) + c2*e^(-x)*sin(3x) - (1/10)*sin(2x),其中 c1 和 c2 是任意常数。
代码如下:
```matlab
syms x;
y(x) = dsolve(diff(y, x, 2) + 2*diff(y, x) + 4*y == sin(2*x), y(0) == 0, Dy(0) == 0);
y(x)
```
运行该代码,可以得到微分方程的通解。
求yˊˊ+yˊtanx=sin2x的通解
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程的问题,可以使用常数变易法来求解。首先求出其对应的齐次线性微分方程y''+y'tanx=0的通解:
设y=e^rx,则y'=re^rx,y''=r^2e^rx,代入原方程得到:
r^2e^rx+r(e^rx)tanx=0
r^2+tanx r=0
则有r=0或r=-tanx,因此齐次线性微分方程的通解为:
y=C1+C2e^(-∫tanxdx)
其中C1和C2为待定常数。
接下来求非齐次线性微分方程的一个特解,由于f(x)=sin2x是一个三角函数,因此可以猜测一个特解y*=Acos2x+Bsin2x,代入原方程得到:
y*''+y*'tanx=sin2x
-4Acos2x-4Bsin2x+(2A-2Btanx)sin2x=sin2x
令A=-1/2,B=0,则有:
y*=(-1/2)cos2x
因此原方程的通解为:
y=C1+C2e^(-∫tanxdx)-1/2cos2x
其中C1和C2为待定常数。
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