解数学题目y'=y/x+tan(y/x)

这是一个一阶常微分方程，可以用分离变量的方法求解。

首先将方程变形为：

y' - tan(y/x) = y/x

然后将 y 和 x 视为独立变量，y' 和 x 视为函数，得到：

dy/dx - tan(y/x) = y/x

将两边同时乘以 x，得到：

x dy/dx - y = x tan(y/x)

这是一个非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法求解。

令 y = ux，其中 u 是只关于 x 的函数，代入上式得到：

x (du/dx + u/x) x - u x = x tan(u)

化简可得：

x du/dx = x tan(u)

将变量分离得到：

du/tan(u) = dx/x

对两边同时积分，得到：

ln|sin(u)| = ln|x| + C

其中 C 是积分常数。

代回 y = ux，可得：

ln|sin(y/x)| = ln|x| + C

移项可得：

sin(y/x) = A|x|

其中 A = e^C。

最终解为：

y = x arcsin(A|x|) 或者 y = πx - x arcsin(A|x|) （其中 A 是常数）。

相关问题

y=tanx/x,求dy

我们可以使用求导法则来求解这个问题。首先，将 $y=\frac{\tan x}{x}$ 用商的求导法则求导，得到：

$$
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} &= \frac{x\sec^2x(\frac{d}{dx}\tan x) - \tan x(\frac{d}{dx}x)}{x^2} \\
&= \frac{x\sec^2x(\sec^2x) - \tan x}{x^2} \\
&= \frac{x\sec^4x - \tan x}{x^2}
\end{aligned}
$$

因此，$y'=\frac{x\sec^4x - \tan x}{x^2}$。

证明：1+ tanα/1-tanα=tan(π/4+α）

要证明等式1 + tanα / (1 - tanα) = tan(π/4 + α)，我们可以使用三角函数的定义和恒等式来进行推导。

首先，我们来展开等式的左边：

1 + tanα / (1 - tanα)

根据三角函数的定义，tanα = sinα / cosα，我们可以将等式改写为：

1 + (sinα / cosα) / (1 - (sinα / cosα))

然后，我们可以将分数进行通分，得到：

(1 * cosα + sinα) / (cosα - sinα) / cosα

继续简化，我们可以将分子进行因式分解：

(cosα + sinα) / (cosα - sinα) / cosα

接下来，我们将分子和分母都乘以(cosα + sinα)，得到：

[(cosα + sinα) * (cosα + sinα)] / [(cosα - sinα) * (cosα + sinα)] / cosα

然后，我们可以利用公式(a + b)(a - b) = a² - b²，将分子和分母进行化简：

[(cosα)² + 2cosαsinα + (sinα)²] / [(cosα)² - (sinα)²] / cosα

由于(sinα)² + (cosα)² = 1，可以将上述等式进一步简化为：

[1 + 2cosαsinα] / [cos²α - sin²α] / cosα

再次利用恒等式cos²θ - sin²θ = cos(2θ)，我们可以将分母进行化简：

[1 + 2cosαsinα] / cos(2α) / cosα

接下来，我们可以将等式进行进一步简化：

[1 + 2sinαcosα] / (cosα * cos(2α))

继续使用恒等式sinθ = sin(π/2 - θ)，我们将等式改写为：

[1 + 2sinαcosα] / (cosα * cos(π/2 - 2α))

然后，我们利用恒等式cosθ = sin(π/2 - θ)，将等式变为：

[1 + 2sinαcosα] / (cosα * sin(2α))

再次使用恒等式sin2θ = 2sinθcosθ，将等式进行进一步改写：

[1 + 2sinαcosα] / (cosα *