猴子第一天摘下若干个桃子,当即吃了2/3,还不过瘾,又多吃了一个,第二天早上又将剩下的桃子吃掉2/3,又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的2/3再多一个。到第n天早上想再吃时,发现只剩下k个桃
时间: 2023-05-31 15:19:50 浏览: 87
### 回答1:
猴子第一天摘下x个桃子,第二天剩下x-(x*2/3)-1个,第三天剩下x-(x*2/3)-1-(x-(x*2/3)-1)*2/3-1个......第n天剩下x-(x*2/3)-1-(x-(x*2/3)-1)*2/3-1-...-((x-(x*2/3)-1)*2/3)^(n-1)-1个,其中^为乘方运算,当这个数列的第n项等于k时,x的值即为桃子的总数。
### 回答2:
假设第一天猴子摘下的桃子数量为x,则:
第一天还剩下1/3*x+1个桃子(其中1/3*x为猴子没有吃掉的),因此:
第二天开始时还剩下(1/3*x+1)*(1-2/3)= 1/9*x+1/3 个桃子;
第二天猴子又吃了2/3*(1/9*x+1/3)+1= 2/9*x+5/9个桃子,还剩下(1-2/3)*(1/9*x+1/3)+1= 7/27*x+10/27 个桃子;
第三天开始时还剩下(7/27*x+10/27)*(1-2/3)=7/81*x+40/81个桃子;
第三天猴子又吃了2/3*(7/81*x+40/81)+1=14/81*x+122/243个桃子,还剩下(1-2/3)*(7/81*x+40/81)+1= 46/243*x+164/243 个桃子;
以此类推,第n天开始时还剩下(1/3*x+1)*(1-2/3)^(n-1)个桃子;
第n天猴子吃剩下的桃子数量为k,因此:
(1/3*x+1)*(1-2/3)^(n-1)-2/3*(1/3*x+1)*(1-2/3)^(n-2)-2/3*(1/3*x+1)*(1-2/3)^(n-3)-…-2/3*(1/3*x+1)*(1-2/3)-1 = k
此式可以化简为:
(1/3*x+1)*(1-(1/3)^(n-1)) / (2/3) = k + 1/3*x
解出x,得到:
x = (3k+1) / (4*(1-(1/3)^(n-1)))
因为x必须为正整数,所以上式必须满足:
3k+1是4*(1-(1/3)^(n-1))的整数倍且大于零。
若第29天剩余的桃子刚好够猴子吃一整天,则k=1,n=29,代入上式得到:
x=1249
因此第一天猴子摘了1249个桃子。
### 回答3:
这道题的关键是要反推出猴子第一天摘下了多少个桃子。
设猴子第一天摘下的桃子为x个。
按照题目所述,第一天猴子吃了2/3的桃子,剩下1/3的桃子再多吃了一个,即:
x/3 - 1 = (2/3)x
解得:x = 9。
所以,猴子第一天摘下了9个桃子。
第二天早上,猴子剩下了1/3的桃子,即3个。再按照题目所述,吃掉2/3的桃子并多吃一个,即:
3/3 - 1 = (2/3)y
解得:y = 5。
所以,第二天猴子摘下了5个桃子。
从第三天开始,每天猴子都是吃掉前一天剩下的2/3并多吃一个,也就是:
第三天:(4/3)y - 1 = (2/3)z
第四天:(4/3)z - 1 = (2/3)w
第五天:(4/3)w - 1 = (2/3)t
……
第n天:(4/3)t - 1 = k
化简可得:t = (3/4)^n(3k + 4) - 4/3
所以,猴子第n天早上摘下的桃子数量为:
y = (4/3)^(n-2) * 5
z = (4/3)^(n-3) * 20/3 - 1
w = (4/3)^(n-4) * 80/9 - 4/3
t = (3/4)^n(3k + 4) - 4/3
需要注意的是,在解题过程中,还要考虑猴子每天摘下的桃子数量应该是整数,否则就不符合实际情况了。
综上所述,猴子第n天早上摘下的桃子数量是一个与n有关的复杂表达式,而不是简单的等差数列或等比数列关系。