python牛顿差值

牛顿插值是一种用于在给定数据点的情况下构建插值多项式的方法。它使用差商来递归地计算插值多项式的系数。以下是Python中实现牛顿插值的方法：

1. 实现牛顿插值多项式的基本形式

def newton_interpolation(x, y):
    n = len(x)
    a = y.copy()
    for j in range(1, n):
        for i in range(n-1, j-1, -1):
            a[i] = (a[i] - a[i-1]) / (x[i] - x[i-j])
    return a

2. 实现牛顿均差插值多项式

(1) 均差的定义

均差是指相邻两个数据点之间的差值。对于给定的数据点，均差可以通过递归地计算差商来计算。

(2) 均差表

均差表是一个二维数组，其中第 i 行第 j 列的元素表示从第 i 个数据点开始，连续 j 个数据点的均差。

def divided_differences(x, y):
    n = len(x)
    table = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        table[i][0] = y[i]
    for j in range(1, n):
        for i in range(n-j):
            table[i][j] = (table[i+1][j-1] - table[i][j-1]) / (x[i+j] - x[i])
    return table

实现代码

def newton_interpolation(x, y):
    n = len(x)
    table = divided_differences(x, y)
    a = [table[0][i] for i in range(n)]
    for j in range(1, n):
        for i in range(n-1, j-1, -1):
            a[i] = (a[i] - a[i-1]) / (x[i] - x[i-j])
    return a

3. 实现等距插值节点的牛顿插值

(1) 差分的定义

差分是指相邻两个数据点之间的差值。对于等距插值节点，差分可以通过递归地计算来计算。

(2) 差分表

差分表是一个二维数组，其中第 i 行第 j 列的元素表示从第 i 个数据点开始，连续 j 个数据点的差分。

(3) 前向插值

前向插值是指从第一个数据点开始，递归地计算插值多项式的系数。

(4) 后向插值

后向插值是指从最后一个数据点开始，递归地计算插值多项式的系数。

实现代码

def newton_interpolation(x, y):
    n = len(x)
    h = x[1] - x[0]
    if all(x[i+1]-x[i] == h for i in range(n-1)):
        # 等距插值节点
        table = [[0] * (n-i) for i in range(n)]
        table[0] = y
        for i in range(1, n):
            for j in range(n-i):
                table[i][j] = table[i-1][j+1] - table[i-1][j]
        a = [table[i][0] for i in range(n)]
        for i in range(1, n):
            for j in range(n-1, i-1, -1):
                a[j] = (a[j] - a[j-1]) / (j-i+1)
    else:
        # 非等距插值节点
        table = divided_differences(x, y)
        a = [table[0][i] for i in range(n)]
        for j in range(1, n):
            for i in range(n-1, j-1, -1):
                a[i] = (a[i] - a[i-1]) / (x[i] - x[i-j])
    return a