一个正整数有可能可以被表示为n(n≥2)个连续的正整数之和,如n=15时, 15=1+2+3+4+5 15=4+5+6 15=7+8 请编写算法,根据输入的任何一个正整数,找出符合这种要求的所有连续正整数序列。
时间: 2023-07-30 20:06:53 浏览: 174
好的,这是一个比较经典的问题,可以用双指针的方法来解决。具体的算法步骤如下:
1. 定义两个指针left和right,分别指向序列的起始和终止位置,初始时left=1,right=2。
2. 计算当前序列的和sum,如果sum等于目标整数num,则输出当前序列,并将right指针向右移动一位,left指针不动。
3. 如果sum小于目标整数num,则将right指针向右移动一位,继续计算序列和。
4. 如果sum大于目标整数num,则将left指针向右移动一位,继续计算序列和。
5. 当left指针大于等于(right+1)时,停止计算。
下面是Python实现代码:
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第五章 作业 用红色粗体显示的题目要求写出算法思路和程序,其余题目要求给出算法思路。 (1)括号检验:输入一个代数表达式,表达式只能含有+,-,*,/,(,)以及0到9的非负整数,设表达式除括号匹配外,再无其他错误。编写算法对输入的表达式进行检验,判断括号匹配是否正确。 例如: 正确的: 1+2+4 (1+2)+4 (1+2) 错误的 (1+)2 (1+2(4+3)) (1+2+3*(4+5())) 1+2+3*(4+5)) (2)有分数1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/8,1/10,1/12,1/15,求将其中若干个分数相加和恰好等于1的组成方案,并输出。 例如1/2+1/3+1/6 = 1 (3)是否存在一个由1~9组成的9位数,每个数字只能出现一次,且这个9位数由高位到低位前i位能被i整除? (7)一个正整数有可能可以被表示为n(n≥2)个连续的正整数之和,如n=15时, 15=1+2+3+4+5 15=4+5+6 15=7+8 请编写算法,根据输入的任何一个正整数,找出符合这种要求的所有连续正整数序列。
# (1) 括号检验
算法思路:
使用栈来实现,遍历表达式,遇到左括号时将其入栈,遇到右括号时将栈顶元素出栈并与当前右括号进行匹配,如果匹配成功则继续遍历,否则表达式括号匹配失败。最后判断栈是否为空,若为空则括号匹配成功,否则匹配失败。
代码实现:
```python
def check_parentheses(expression):
stack = []
for char in expression:
if char == '(':
stack.append(char)
elif char == ')':
if stack and stack[-1] == '(':
stack.pop()
else:
return False
return not stack
```
# (2) 分数相加
算法思路:
将分数数组中的每个元素转换成小数,然后枚举所有可能的相加方式,对每一种相加方式进行判断,如果相加结果等于1,则输出相加方式。
代码实现:
```python
from fractions import Fraction
def sum_fraction():
fractions = [Fraction(1, 2), Fraction(1, 3), Fraction(1, 4), Fraction(1, 5), Fraction(1, 6), Fraction(1, 8), Fraction(1, 10), Fraction(1, 12), Fraction(1, 15)]
decimals = [float(f) for f in fractions]
for i in range(1, len(fractions) + 1):
for indices in combinations(range(len(fractions)), i):
if sum([decimals[j] for j in indices]) == 1:
print('+'.join([str(fractions[j]) for j in indices]), '=', 1)
```
其中, `combinations` 函数是从 `itertools` 库中导入的,用于生成从给定元素中取出指定数量元素的所有可能组合。
# (3) 整除数
算法思路:
使用回溯法遍历所有可能组合,如果某一组合满足题目条件,则输出该组合。
代码实现:
```python
def is_divisible(number):
for i in range(1, len(number) + 1):
if int(number[:i]) % i != 0:
return False
return True
def find_divisible_numbers():
digits = '123456789'
result = []
def backtrack(path):
if len(path) == len(digits):
if is_divisible(path):
result.append(int(path))
else:
for digit in digits:
if digit not in path:
backtrack(path + digit)
backtrack('')
return result
```
# (7) 连续正整数和
算法思路:
使用双指针法,设左指针为 `left`,右指针为 `right`,初始值均为 1。如果从 `left` 到 `right` 的连续正整数之和小于目标值,则将右指针向右移动一位;如果和大于目标值,则将左指针向右移动一位;如果和等于目标值,则记录当前的连续正整数序列,并将左指针向右移动一位。
代码实现:
```python
def find_continuous_sequences(target):
left, right = 1, 1
result = []
while left <= target // 2:
total = sum(range(left, right + 1))
if total == target:
result.append(list(range(left, right + 1)))
left += 1
elif total < target:
right += 1
else:
left += 1
return result
```
3. (整数划分问题) 将正整数n表示成一系列的正整数之和: n=n1+n2+…+nk, 其中n1≥n2≥…≥nk≥1,k≥1,求正整数n的不同划分个数。(递归实现
整数划分问题,也称为部分和问题或分隔计数问题,是一个经典的组合数学问题。递归实现可以参考下面的思路:
假设我们有一个函数 `countParts(n, k)`,它接收两个参数:目标总和 `n` 和已分配的部分个数 `k`。这个函数的目标是计算从 `1` 到 `n` 中选择 `k` 个非降序数字的不同组合。
基本情况:
- 如果 `n == 0`,并且 `k == 0`,这意味着找到了一种空的划分方案,所以返回 `1`。
- 如果 `n < 0` 或 `k = 0`,则没有合法的划分,返回 `0`。
递归情况:
- 对于 `n > 0`,考虑当前是否需要增加一个新的最大部分 `k`。如果添加 `k`,那么剩余的和为 `n - k`,并减小部分个数到 `k - 1`。因此,这部分的解就是 `countParts(n - k, k - 1)`。
- 如果不需要增加新的最大部分,则剩下的部分个数不变,但是每个现有的部分都可以选择是否添加到划分中,所以这部分的解是 `countParts(n, k)` 乘以当前最大的 `k` 项的数目,即 `countParts(n, k) * k`。
递归公式可以写为:
```python
countParts(n, k) = countParts(n - k, k - 1) + (k * countParts(n, k))
```
最后,为了得到总的划分数,你需要对所有可能的 `k` 从 `1` 到 `n` 遍历,并将结果相加:
```python
def countDistinctPartitions(n):
return sum(countParts(n, i) for i in range(1, n + 1))
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