如何 把 $a(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}h(k) \cdot d(2n-k) = (h \star d)(2n) \downarrow 2$ 这样的公式正常显示
时间: 2024-05-16 07:19:54 浏览: 20
您可以使用 LaTeX 语法将公式正常显示。在Markdown中,用一对`$`将公式包裹起来即可。公式如下:
$$a(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}h(k) \cdot d(2n-k) = (h \star d)(2n) \downarrow 2$$
您可以将上述公式复制到Markdown编辑器中查看效果。
相关问题
(2)求幂级数\sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {(n+1)}{2^{n}}x^{n}的和函数.
我们可以先对幂级数进行求和,得到:
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(n+1)}{2^n}x^n &= \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{2^n}x^n + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2^n}x^n \\
&= x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-x)^{n-1}}{2^n} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^n \\
&= x\cdot\frac{1}{1+\frac{x}{2}} + \frac{-x/2}{1+\frac{x}{2}} \\
&= \frac{x-3x/2}{(1+x/2)^2} \\
&= \frac{x}{(1+x/2)^2}
\end{aligned}
$$
因此,幂级数的和函数为 $f(x) = \frac{x}{(1+x/2)^2}$。
x[n]=(-1)^n,求x[n]的傅里叶变换
首先,我们可以将$x[n]$表示为另一个信号$y[n]$的实部,其中$y[n]=(-1)^n+j\cdot0$,即:
$$
y[n]=(-1)^n+0\cdot j
$$
然后,根据傅里叶变换的定义,$y[n]$的傅里叶变换$Y(\omega)$为:
$$
\begin{aligned}
Y(\omega)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n]\cdot e^{-j\omega n}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n\cdot e^{-j\omega n}+j\cdot0\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \cos(\omega n)\cdot e^{-j\omega n}+j\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty} \sin(\omega n)\cdot e^{-j\omega n}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(e^{j\omega} \right)^n+\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(e^{-j\omega} \right)^n\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-e^{j\omega}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{-j\omega}}{1-e^{j\omega}e^{-j\omega}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{j\omega}}{1-e^{-j\omega}e^{j\omega}}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{-j\omega}}{1-e^{-2j\omega}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{j\omega}}{1-e^{2j\omega}}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{-j\omega/2}-e^{j\omega/2}}{e^{-j\omega}-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}}{e^{j\omega}-1}\\
\end{aligned}
$$
化简可得:
$$
\begin{aligned}
Y(\omega)&=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{-j\omega/2}-e^{j\omega/2}}{e^{-j\omega}-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}}{e^{j\omega}-1}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{-j\cdot2\sin(\omega/2)}{-2j\sin(\omega/2)}\\
&=-j\cdot\frac{\sin(\omega/2)}{\sin(\omega)}\\
\end{aligned}
$$
因此,$x[n]=(-1)^n$的傅里叶变换为:
$$
X(\omega)=\mathcal{F}\{x[n]\}=-j\cdot\frac{\sin(\omega/2)}{\sin(\omega)}
$$
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