试求热传导方程$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ $u(0,t)=a$ $u(L,t)=b$ $u(x,0)=\varphi (x)的形式解

我们可以使用分离变量法求解该偏微分方程。假设解为$$u(x,t)=X(x)T(t)$$将其代入原方程可得：$$XT'=\alpha X''T$$将其变形可得：$$\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{X''}{X}=\frac{T'}{T}=-\lambda$$其中$\lambda$为常数。则可以得到两个常微分方程：$$X''+\alpha\lambda X=0$$和$$T'+\lambda\alpha T=0$$

对于第一个方程，我们可以根据边界条件得到其通解为$$X(x)=C_1\cos(\sqrt{\lambda\alpha}x)+C_2\sin(\sqrt{\lambda\alpha}x)$$

对于第二个方程，其通解为$$T(t)=C_3e^{-\lambda\alpha t}$$

将两个通解组合起来，可得$$u(x,t)=(C_1\cos(\sqrt{\lambda\alpha}x)+C_2\sin(\sqrt{\lambda\alpha}x))C_3e^{-\lambda\alpha t}$$

根据初始条件$u(x,0)=\varphi(x)$，可以得到$$\varphi(x)=C_1\cos(\sqrt{\lambda\alpha}x)+C_2\sin(\sqrt{\lambda\alpha}x)$$

对该式求导，并代入边界条件$u(0,t)=a$和$u(L,t)=b$，可以解出常数$C_1$和$C_2$。最终的解为$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{2(a-b)}{n\pi}\sin(\frac{n\pi}{L})+\frac{2\varphi(x)}{L}]e^{-\alpha(\frac{n\pi}{L})^2t}\sin(\frac{n\pi}{L}x)$$