$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(X(x)Y(y))+\frac{\partial^2}{\partial y^2}(X(x)Y(y))=0$$表达什么含义
时间: 2023-12-15 08:05:10 浏览: 38
这个式子表达的含义是,对于函数$X(x)Y(y)$,它的二阶偏导数在$x$和$y$方向上的乘积等于$0$。这意味着,$X(x)Y(y)$的曲率在$x$和$y$方向上的变化相互独立,即在$x$方向上曲率变化大并不影响在$y$方向上的曲率变化,反之亦然。这个式子在物理学、工程学和数学中都有应用,例如在流体力学中描述流体的运动,或者在二维热传导方程中描述温度场的变化。
相关问题
试求$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ $$ u(0,t) = u_1(0,t) $$ $$ u(L,t) = u_2(L,t) $$的形式通解
根据题意,可以列出如下的波动方程的初边值问题:
$$
\begin{cases}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, &(x,t) \in (0,L) \times (0,+\infty) \\
u(0,t) = u_1(0,t), &t \ge 0 \\
u(L,t) = u_2(L,t), &t \ge 0 \\
u(x,0) = f(x), &x \in [0,L] \\
\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = g(x), &x \in [0,L]
\end{cases}
$$
为了求出这个问题的通解,我们可以采用分离变量法。设 $u(x,t) = X(x)T(t)$,代入波动方程中可得:
$$
X(x)T''(t) = c^2X''(x)T(t) \\
\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}
$$
由于左右两边分别只含有 $t$ 和 $x$ 的函数,所以它们相等的唯一可能是它们都等于某个常数 $\lambda$:
$$
\begin{cases}
\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \lambda \\
\frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda
\end{cases}
$$
对于第一个式子,可以得到:
$$
T''(t) - c^2\lambda T(t) = 0
$$
解这个常微分方程可以得到:
$$
T(t) = A\cos(c\sqrt{\lambda}t) + B\sin(c\sqrt{\lambda}t)
$$
对于第二个式子,可以得到:
$$
X''(x) - \lambda X(x) = 0
$$
解这个常微分方程可以得到:
$$
X(x) = C_1\cos(\sqrt{\lambda}x) + C_2\sin(\sqrt{\lambda}x)
$$
于是原初边值问题的通解为:
$$
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos(c\sqrt{\lambda_n}t) + B_n\sin(c\sqrt{\lambda_n}t))(C_{1n}\cos(\sqrt{\lambda_n}x) + C_{2n}\sin(\sqrt{\lambda_n}x))
$$
其中 $\lambda_n$ 是满足 $X_n''(x) - \lambda_n X_n(x) = 0$ 的正数解,$A_n,B_n,C_{1n},C_{2n}$ 是待定系数,可以通过初边值条件来确定。由于初始条件 $u(x,0) = f(x)$ 和 $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = g(x)$ 已经给出,所以我们可以求出 $A_n$ 和 $B_n$:
$$
A_n = \frac{1}{L}\int_0^Lf(x)C_{1n}\mathrm{d}x \\
B_n = \frac{1}{c\sqrt{\lambda_n}L}\int_0^Lg(x)C_{1n}\mathrm{d}x
$$
而 $C_{1n}$ 和 $C_{2n}$ 则可以通过边界条件 $u(0,t) = u_1(0,t)$ 和 $u(L,t) = u_2(L,t)$ 来确定:
$$
\begin{cases}
C_{1n}\cos(0) + C_{2n}\sin(0) = u_1(0,t) \\
C_{1n}\cos(\sqrt{\lambda_n}L) + C_{2n}\sin(\sqrt{\lambda_n}L) = u_2(L,t)
\end{cases}
$$
化简可得:
$$
\begin{cases}
C_{1n} = u_1(0,t) \\
C_{2n} = \frac{u_2(L,t)}{\sin(\sqrt{\lambda_n}L)}
\end{cases}
$$
于是我们就求出了初边值问题的通解。
求柱面x^2+y^2=2x被锥面x^2+y^2=z^2所截剩下部分面积
首先,将柱面的方程化为标准形式:$(x-1)^2+y^2=1$。
然后,锥面的方程为 $x^2+y^2=z^2$。
将 $z$ 消去,得到 $x^2+y^2=(\sqrt{x^2+y^2})^2=z^2=x^2+y^2$,即 $x^2+y^2=0$ 或 $x^2+y^2\neq 0$。
显然,$x^2+y^2=0$ 对应的是顶点,不在所求范围内。因此,我们只需考虑 $x^2+y^2\neq 0$ 的情况。
将 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 代入柱面的方程,得到 $(x-1)^2+y^2=1$,即 $x^2-2x+1+y^2=1$,即 $x^2+y^2=2x$。
将 $x^2+y^2=2x$ 代入锥面的方程,得到 $2x=z^2$。
因此,所求部分的面积可以表示为:
$$
\begin{aligned}
S&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{z_x}{z_z})^2+(\frac{z_y}{z_z})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{1}{2\sqrt{x}})^2+(\frac{0}{2\sqrt{x}})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+\frac{1}{4x}}dxdy \\
&=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4r\cos^2\theta}}rdrd\theta \\
&=\frac{\pi}{2}\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4r}}rdr \\
&=\frac{\pi}{12}(5\sqrt{5}-1)
\end{aligned}
$$
因此,所求柱面被锥面截剩下部分的面积为 $\frac{\pi}{12}(5\sqrt{5}-1)$。
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