试求热传导方程$$\frac{\partial u}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ $u(0,t)=0$ $u(L,t)=0$ $u(x,0)=\varphi (x)的形式解

我们可以使用分离变量法求解热传导方程。

假设 $u(x,t)$ 可以表示为两个函数的乘积：$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入热传导方程中，得到：

$$\frac{1}{a^2}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2$$

其中 $\lambda$ 是常数。将其化简得到两个常微分方程：

$$T'(t)+\lambda^2a^2T(t)=0$$

$$X''(x)+\lambda^2X(x)=0$$

由于 $u(0,t)=0$，$u(L,t)=0$，因此有边界条件 $X(0)=0$，$X(L)=0$。

对于常微分方程 $T'(t)+\lambda^2a^2T(t)=0$，其解为 $T(t)=C_1\cos(\lambda a t)+C_2\sin(\lambda a t)$。

对于常微分方程 $X''(x)+\lambda^2X(x)=0$，其解为 $X(x)=C_3\cos(\lambda x)+C_4\sin(\lambda x)$。

由于 $X(0)=0$，$X(L)=0$，因此有 $C_3=0$，$\lambda L=n\pi$，$C_4$ 未知。

因此，$u(x,t)$ 的解为：

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin(\frac{n\pi}{L}x)\cos(\frac{n\pi}{L}a t)$$

其中 $C_n=C_4\sin(\frac{n\pi}{L})$。$C_4$ 可以通过初始条件 $u(x,0)=\varphi(x)$ 求得：

$$C_4=\frac{2}{L}\int_0^L\varphi(x)\sin(\frac{n\pi}{L}x)dx$$

因此，热传导方程的解为：

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{L}\int_0^L\varphi(x)\sin(\frac{n\pi}{L}x)\sin(\frac{n\pi}{L})\cos(\frac{n\pi}{L}a t)$$

这就是热传导方程的解。