matlab用有限元法处理黎曼边界条件下，初始值为[0.4;0.4]带时滞的偏微分方程组$$ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + u-u^2-u*v/(0.5*v+1)\\ \frac{\partial v}{\partial t}(x,t) = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x,t) + 20*u(x,t-1.7)*v/(0.5*v(x,t-1.7)+1)-v-v^2, \end{cases} $$代码实现

首先需要将空间区间 $[0,1]$ 离散化成 $N$ 个点，时间区间 $[0,T]$ 离散化成 $M$ 个点。定义 $\Delta x = 1/N$ 和 $\Delta t = T/M$，并令 $u_{i,j}$ 和 $v_{i,j}$ 分别表示 $u(x_i,t_j)$ 和 $v(x_i,t_j)$ 的近似解，其中 $x_i = i\Delta x$，$t_j = j\Delta t$。

然后，我们可以使用有限元法对给定的偏微分方程组进行离散化。对于第一条方程，我们有：

$$\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t} = \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} + u_{i,j} - u_{i,j}^2 - \frac{uv_{i,j}}{0.5v_{i,j}+1}$$

整理得：

$$u_{i,j+1} = u_{i,j} + \frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}(u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}) + \Delta t(u_{i,j}-u_{i,j}^2-\frac{uv_{i,j}}{0.5v_{i,j}+1})$$

类似地，对于第二条方程，我们有：

$$\frac{v_{i,j+1}-v_{i,j}}{\Delta t} = \frac{v_{i+1,j}-2v_{i,j}+v_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} + 20u_{i,j-1}v_{i,j-1}/(0.5v_{i,j-1}+1)-v_{i,j}-v_{i,j}^2$$

整理得：

$$v_{i,j+1} = v_{i,j} + \frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}(v_{i+1,j}-2v_{i,j}+v_{i-1,j}) + \Delta t(20u_{i,j-1}v_{i,j-1}/(0.5v_{i,j-1}+1)-v_{i,j}-v_{i,j}^2)$$

在边界处，我们需要使用黎曼边界条件：$u_{0,j}=0$，$u_{N,j}=1$。在时间上，我们需要先通过空间离散化求得 $u_{i,0}$ 和 $v_{i,0}$ 的初始值，然后通过时间离散化求得 $u_{i,j+1}$ 和 $v_{i,j+1}$ 的近似值，直到 $j=M$ 时停止迭代，得到最终的近似解。

下面是 MATLAB 代码实现：