试求热传导方程$$\frac{\partial u}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ $u(0,t)=a$ $u(L,t)=b$ $u(x,0)=\varphi (x)的形式解

我们可以使用分离变量法来求解这个问题。设$$u(x,t)=X(x)T(t)$$将其代入热传导方程，并分离变量，得到：$$\frac{1}{a^2}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2$$其中 $\lambda$ 是常数。解出 $X(x)$ 和 $T(t)$：$$X(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)$$ $$T(t)=Ce^{-a^2\lambda^2t}$$根据边界条件 $u(0,t)=a$ 和 $u(L,t)=b$，可得：$$X(0)=B=a$$ $$X(L)=A\sin(\lambda L)+B\cos(\lambda L)=b$$ 故有：$$A=\frac{b-a\cos(\lambda L)}{\sin(\lambda L)}$$ 将 $X(x)$ 和 $T(t)$ 代入 $u(x,t)=X(x)T(t)$，得到：$$u(x,t)=\frac{b-a\cos(\lambda L)}{\sin(\lambda L)}\sin(\lambda x)e^{-a^2\lambda^2t}$$ 将初始条件 $u(x,0)=\varphi(x)$ 代入上式，利用傅里叶级数展开，可得：$$\varphi(x)=\sum_{n=1}^\infty c_n\sin(\frac{n\pi}{L}x)$$ 其中 $$c_n=\frac{2}{L}\int_0^L\varphi(x)\sin(\frac{n\pi}{L}x)dx$$ 将 $u(x,t)$ 和 $c_n$ 代入上式，得到：$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{2(b-a\cos(\frac{n\pi}{L})}{n\pi(\frac{b-a\cos(\frac{n\pi}{L})}{\sin(\frac{n\pi}{L})})}\varphi_n\sin(\frac{n\pi}{L}x)e^{-a^2(\frac{n\pi}{L})^2t}$$ 其中 $$\varphi_n=\frac{2}{L}\int_0^L\varphi(x)\sin(\frac{n\pi}{L}x)dx$$ 即为所求的形式解。