给定函数 $f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y-1$,求函数 $f(x,y)$ 的极值。
时间: 2024-04-02 12:35:48 浏览: 10
好的,这是一个多元函数的极值问题。我们可以按照如下步骤来求解:
1. 求出函数 $f(x,y)$ 的偏导数:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x} &= 2x - 2,\\
\frac{\partial f}{\partial y} &= 2y + 4.
\end{aligned}
$$
2. 令偏导数为零,解出 $x$ 和 $y$ 的值:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x} &= 2x - 2 = 0,\\
\frac{\partial f}{\partial y} &= 2y + 4 = 0.
\end{aligned}
$$
由此可得,$x=1$,$y=-2$。
3. 判定这些值是否为极值点。为此,我们需要判定这些点是否为函数 $f(x,y)$ 的极小值或极大值。我们可以使用 Hessian 矩阵的判定法。Hessian 矩阵是一个 $2\times 2$ 的矩阵,定义为:
$$
H(f) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{bmatrix}.
$$
计算出函数 $f(x,y)$ 的 Hessian 矩阵为:
$$
H(f) = \begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}.
$$
由于 $H(f)$ 是正定矩阵,所以点 $(1,-2)$ 是函数 $f(x,y)$ 的极小值点。
因此,函数 $f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y-1$ 在点 $(1,-2)$ 处取得极小值 $f(1,-2)=-2$。