求函数 f(x,y)=9(y-x)+3x^2-6y^2+x^3+y^3 的极值
时间: 2023-10-19 19:06:21 浏览: 47
首先,我们需要求出函数 $f(x,y)$ 的一阶偏导数:
$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= 3x^2 + 3x^2\\ &= 6x^2 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} &= 9 - 12y + 3y^2\\ &= 3(y-2)^2 - 3 \end{aligned}$$
接下来,我们需要令一阶偏导数等于 $0$,求出驻点:
$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= 6x^2 = 0\\ \frac{\partial f}{\partial y} &= 3(y-2)^2 - 3 = 0 \end{aligned}$$
解得:
$$\begin{aligned} x &= 0 \\ y &= 2 \end{aligned}$$
接着,我们需要求出二阶偏导数:
$$\begin{aligned} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= 12x\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= 6(y-2)\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= 0 \end{aligned}$$
在驻点 $(0,2)$ 处,有:
$$\begin{aligned} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,2) &= 0\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,2) &= -6\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,2) &= 0 \end{aligned}$$
因为 $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,2) < 0$,所以 $(0,2)$ 是一个极大值点。因此,函数 $f(x,y)$ 的极大值为:
$$f(0,2) = 9(2-0)+3(0)^2-6(2)^2+(0)^3+(2)^3 = -35$$
综上所述,函数 $f(x,y)=9(y-x)+3x^2-6y^2+x^3+y^3$ 的极值为 $-35$,在点 $(0,2)$ 处取得。