2x+1 -3≤x≤0 且x 0<x≤3 展开成傅里叶级数的详细过程
时间: 2024-03-30 21:35:13 浏览: 32
首先,我们需要将 $2x+1$ 在区间 $[-3,0]$ 和 $[0,3]$ 内展开成傅里叶级数。
在区间 $[-3,0]$ 内,$2x+1$ 可以表示为:
$$
2x+1 = -3\cdot(-1) + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)
$$
其中,
$$
a_n = \frac{6}{n\pi}\left((-1)^n - 1\right),\quad b_n = 0
$$
在区间 $[0,3]$ 内,$2x+1$ 可以表示为:
$$
2x+1 = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)
$$
其中,
$$
a_n = \frac{12}{n\pi}\left((-1)^n - 1\right),\quad b_n = -\frac{6}{n\pi}\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)
$$
根据傅里叶级数的线性性质,我们可以得到 $f(x) = 2x+1$ 在区间 $(-3,3)$ 内的傅里叶级数:
$$
f(x) = -3\cdot(-1) + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{3}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)
$$
其中,
$$
a_n = \frac{6}{n\pi}\left((-1)^n - 1\right) + \frac{12}{n\pi}\left((-1)^n - 1\right),\quad b_n = -\frac{6}{n\pi}\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)
$$
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