求序列x(n) = 0.5nu(n)的傅里叶变换

根据傅里叶变换的公式，有：

$$ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n} $$

将序列x(n)代入上式，有：

$$ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty} 0.5n e^{-j\omega n} $$

这是一个级数，可以先对其求导，再求和，即：

$$ \begin{aligned} \frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega} &= \sum_{n=0}^{\infty} (-jn)0.5n e^{-j\omega n} \\ &= -j\sum_{n=0}^{\infty} (n^2/2) e^{-j\omega n} \end{aligned} $$

这是一个常见的级数，可以用幂级数展开的方法求出，即：

$$ \sum_{n=0}^{\infty} z^n = \frac{1}{1-z} $$

对其进行两次求导，有：

$$ \sum_{n=0}^{\infty} n^2 z^{n-1} = \frac{2+z}{(1-z)^3} $$

将z=e^{-j\omega}代入上式，有：

$$ \sum_{n=0}^{\infty} n^2 e^{-j\omega n} = \frac{2+e^{-j\omega}}{(1-e^{-j\omega})^3} $$

再乘以-j，有：

$$ \begin{aligned} \frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega} &= -j\sum_{n=0}^{\infty} (n^2/2) e^{-j\omega n} \\ &= \frac{j}{2}\sum_{n=0}^{\infty} n^2 e^{-j\omega n} \\ &= \frac{j}{2} \frac{2+e^{-j\omega}}{(1-e^{-j\omega})^3} \end{aligned} $$

再对其积分，有：

$$ \begin{aligned} X(e^{j\omega}) &= \int \frac{j}{2} \frac{2+e^{-j\omega}}{(1-e^{-j\omega})^3} d\omega \\ &= -\frac{j}{2} \frac{1}{2} \frac{(e^{-j\omega}-1)^{-2}}{-j} - \frac{j}{2} \frac{1}{(-j)} \ln|e^{-j\omega}-1| + C \\ &= \frac{1}{4} \frac{1}{(1-e^{-j\omega})^2} + \frac{1}{2} \frac{\ln|e^{-j\omega}-1|}{j} + C \\ &= \frac{1}{4} \frac{1}{(1-e^{-j\omega})^2} + \frac{\ln|1-e^{j\omega}|}{j} + C \end{aligned} $$

其中C为常数。因此，序列x(n)的傅里叶变换为：

$$ X(e^{j\omega}) = \frac{1}{4} \frac{1}{(1-e^{-j\omega})^2} + \frac{\ln|1-e^{j\omega}|}{j} + C $$