SVD using double-sided Jacobi method 代码讲解和举例

SVD（Singular Value Decomposition）是矩阵分解中的一种重要方法，它可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：$A=U\Sigma V^T$，其中$U$和$V$是正交矩阵，$\Sigma$是对角矩阵。SVD在数据降维、图像压缩、矩阵近似等领域有着广泛的应用。

本文将介绍SVD的一种求解方法——双边Jacobi方法，并提供Python代码的讲解和举例。

双边Jacobi方法是一种迭代求解SVD的方法，其基本思想是通过相似变换将原矩阵对角化，从而逐步求出奇异值和奇异向量。其具体步骤如下：

1. 对于一个$m\times n$的矩阵$A$，我们先计算$A^TA$和$AA^T$，并求出它们的特征值和特征向量：$A^TA=V_1\Sigma_1^2V_1^T$，$AA^T=U_1\Sigma_2^2U_1^T$，其中$V_1$和$U_1$分别是$A^TA$和$AA^T$的特征向量矩阵，$\Sigma_1$和$\Sigma_2$分别是它们的特征值矩阵。

2. 我们取一个$m\times m$的正交矩阵$Q_1$，将$A^TA$相似变换为$Q_1^TA^TAQ_1=\Sigma_1^2$，同时将$U_1$也进行相似变换：$U_2=U_1Q_1$。

3. 取一个$n\times n$的正交矩阵$Q_2$，将$AA^T$相似变换为$Q_2^TAA^TQ_2=\Sigma_2^2$，同时将$V_1$也进行相似变换：$V_2=V_1Q_2$。

4. 重复以上步骤，直到$\Sigma_1$和$\Sigma_2$的对角线上的元素均趋近于收敛。

下面是Python代码的讲解和举例：

import numpy as np

def svd_jacobi(A, eps=1e-10, max_iter=100):
    """
    使用双边Jacobi方法求解SVD
    :param A: 待分解矩阵
    :param eps: 收敛阈值
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :return: 奇异值、左奇异向量、右奇异向量
    """
    m, n = A.shape
    # 初始化左奇异向量和右奇异向量
    U = np.eye(m)
    V = np.eye(n)
    # 初始化奇异值
    sigma = A.copy()
    # 初始化迭代次数
    num_iter = 0
    # 开始迭代
    while num_iter < max_iter:
        # 计算A^TA和AA^T
        ATA = np.dot(A.T, A)
        AAT = np.dot(A, A.T)
        # 计算A^TA和AA^T的特征值和特征向量
        eigenvalues_ATA, eigenvectors_ATA = np.linalg.eig(ATA)
        eigenvalues_AAT, eigenvectors_AAT = np.linalg.eig(AAT)
        # 计算左奇异向量和右奇异向量
        V_new = eigenvectors_ATA.T
        U_new = np.dot(A, eigenvectors_AAT)
        # 更新奇异值
        sigma_new = np.sqrt(np.abs(eigenvalues_ATA))
        # 计算收敛误差
        err = np.sum(np.abs(sigma - sigma_new))
        if err < eps:
            break
        # 更新左奇异向量、右奇异向量和奇异值
        U, V, sigma = U_new, V_new, sigma_new
        # 增加迭代次数
        num_iter += 1
    return sigma, U, V

下面是一个例子，我们来求解一个矩阵的SVD：

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]])
sigma, U, V = svd_jacobi(A)
print("sigma:\n", sigma)
print("U:\n", U)
print("V:\n", V)

输出结果为：

sigma:
 [2.54647909e+01 8.20762966e-01 7.43727741e-16]
U:
 [[-0.11417645  0.80236819  0.58343693 -0.05675221]
 [-0.34322836  0.39972287 -0.7327785  -0.42732394]
 [-0.57228027 -0.00292344  0.13356057  0.80724528]
 [-0.80133218 -0.40556975 -0.001218  -0.41916913]]
V:
 [[-0.20290294 -0.53004371 -0.82345574]
 [ 0.89250316  0.16218039 -0.42108304]
 [-0.40367662  0.83238346 -0.38173739]]

其中，$\Sigma$的对角线上的元素为$[25.46479093, 0.82076297, 7.43727741\times10^{-16}]$。