基于双边旋转Jacobi的svd的matlab算法代码讲解

SVD（Singular Value Decomposition）是一种常用的矩阵分解方法。SVD算法可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积，分解后得到的三个矩阵分别为左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。其中，奇异值矩阵是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为奇异值。

在实际应用中，SVD算法常常用于数据降维、矩阵压缩、信号处理等领域。本文将介绍基于双边旋转Jacobi的SVD算法的Matlab代码实现。

双边旋转Jacobi算法是一种高效的SVD算法，它的基本思想是通过旋转矩阵来使得矩阵逐步收敛到一个对角矩阵。算法流程如下：

1. 对于一个矩阵A，我们先对其进行转置，得到一个新矩阵B=A^T。

2. 然后，我们对A和B进行相乘，得到一个新的矩阵C=A*B。

3. 接着，我们对C进行双边旋转，得到一个新的矩阵D=C*Q，其中Q是一个旋转矩阵。

4. 我们不断重复步骤2和3，直到矩阵收敛到一个对角矩阵。

下面是基于双边旋转Jacobi的SVD算法的Matlab代码实现：

function [U,S,V] = my_svd(A)
    [m,n] = size(A);
    maxiter = 1000;
    tol = 1e-6;
    U = eye(m);
    V = eye(n);
    for k = 1:maxiter
        % 双边旋转Jacobi
        [p,q] = find(A==max(max(abs(A))));
        theta = 0.5*atan(2*A(p,q)/(A(p,p)-A(q,q)));
        c = cos(theta);
        s = sin(theta);
        J = eye(m);
        J(p,p) = c;
        J(q,q) = c;
        J(p,q) = s;
        J(q,p) = -s;
        A = J'*A*J;
        U = U*J;
        J = eye(n);
        J(p,p) = c;
        J(q,q) = c;
        J(p,q) = s;
        J(q,p) = -s;
        V = V*J;
        A = A.*(~eye(size(A))); % 将非对角线上的元素置零
        if max(max(abs(triu(A,1)))) < tol % 判断是否收敛
            break;
        end
    end
    S = diag(A);
end

首先，我们定义了一个函数my_svd，输入参数为矩阵A，输出参数为左奇异矩阵U、奇异值矩阵S和右奇异矩阵V。

接着，我们定义了矩阵A的大小、最大迭代次数maxiter和收敛精度tol，并初始化左奇异矩阵U和右奇异矩阵V。

在for循环中，我们不断进行双边旋转Jacobi操作，直到矩阵收敛到一个对角矩阵。在每一次旋转操作后，我们更新左奇异矩阵U和右奇异矩阵V，并将矩阵A的非对角线上的元素置零。

最后，我们将矩阵A的对角线元素作为奇异值矩阵S的对角线元素，返回左奇异矩阵U、奇异值矩阵S和右奇异矩阵V。

需要注意的是，双边旋转Jacobi算法虽然高效，但在处理大规模矩阵时仍然存在一定的计算复杂度。因此，在实际应用中，我们可以使用其他更高效的SVD算法。