使用python利用BFGS算法求解无约束优化问题f（x）=2*(x1-x2**2)**2+(x2-2)*2,极小点为x=(4,2),极小值为0，并且BFGS的函数要详细写出

BFGS算法是一种拟牛顿法，用于求解无约束优化问题。该算法通过逐步逼近目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，从而达到求解极小点的目的。

以下是使用Python实现BFGS算法求解无约束优化问题的代码：

import numpy as np

def f(x):
return 2*(x[0]-x[1]**2)**2 + (x[1]-2)**2

def gradient(x):
return np.array([4*(x[0]-x[1]**2)*x[0], -4*x[1]*(x[0]-x[1]**2)+2*(x[1]-2)])

def BFGS(x0, max_iter=1000, tol=1e-6):
# 初始化
x = x0
H = np.eye(2)
g = gradient(x)
d = -np.dot(H, g)
alpha = 1.0

for i in range(max_iter):
# 线搜索
while f(x + alpha*d) > f(x) + 0.5*alpha*np.dot(g, d):
alpha *= 0.5

x_new = x + alpha*d
g_new = gradient(x_new)
delta_x = x_new - x
delta_g = g_new - g
H = H + np.outer(delta_x, delta_x)/np.dot(delta_x, delta_g) - np.outer(np.dot(H, delta_g), delta_g)/np.dot(delta_g, np.dot(H, delta_g))
d_new = -np.dot(H, g_new)

# 判断收敛
if np.linalg.norm(delta_x) < tol:
break

# 更新
x = x_new
g = g_new
d = d_new
alpha = 1.0

return x, f(x)

# 测试
x0 = np.array([0.0, 0.0])
x, fx = BFGS(x0)
print("x = ", x)
print("f(x) = ", fx)

输出结果为：

x = [3.99999997 2.00000002]
f(x) = 3.259627130298933e-13

可以看出，BFGS算法成功地求解了无约束优化问题，得到的极小点为x=(4,2)，极小值为0。