求逆序对(deseq)

逆序对指的是一个数列中，如果两个数的前后位置与它们在数列中的大小顺序相反，即大数在前、小数在后，则这两个数构成一个逆序对。求逆序对的问题可以通过多种算法来解决。

一种常见的解决方法是使用归并排序。归并排序的基本思想是将数列不断地二分分割，直到每个子序列只有一个元素，然后再逐步合并这些有序的子序列，最终得到一个完全有序的数列。在合并过程中，可以利用两个子序列本身已经有序的特点，通过比较每个子序列中最后一个元素的大小来计算逆序对的数量。

具体做法是，将原始数列分成两个子序列，分别进行归并排序，同时统计并累加两个子序列中的逆序对数量。然后将两个子序列按照递增顺序依次合并成一个完整的有序序列，这个过程中同样可以计算出新的逆序对数量，并累加到之前的结果中。最终得到的逆序对数量就是整个数列的逆序对数量。

通过归并排序算法，可以在时间复杂度为O(nlogn)的情况下求解逆序对。具体的实现过程需要注意细节，并且可以通过优化来提高算法的效率。

相关问题

p1750 求逆序对

求逆序对是一个经典的问题，可以使用归并排序的思想来解决。具体来说，对于一个数组 $a$，我们可以将其分为左右两个子数组 $a_1$ 和 $a_2$，然后分别递归地求解 $a_1$ 和 $a_2$ 的逆序对个数，最后再计算 $a_1$ 和 $a_2$ 之间的逆序对个数，并将 $a_1$ 和 $a_2$ 合并成一个有序的数组。

下面是一个基于归并排序的求逆序对的示例代码：

def merge_sort(a):
    if len(a) <= 1:
        return a, 0
    mid = len(a) // 2
    left, cnt1 = merge_sort(a[:mid])
    right, cnt2 = merge_sort(a[mid:])
    merged, cnt3 = merge(left, right)
    return merged, cnt1 + cnt2 + cnt3

def merge(left, right):
    i, j = 0, 0
    merged = []
    cnt = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            merged.append(left[i])
            i += 1
        else:
            merged.append(right[j])
            j += 1
            cnt += len(left) - i
    merged += left[i:]
    merged += right[j:]
    return merged, cnt

其中，`merge_sort` 函数用于对数组进行归并排序，并返回排序后的数组和逆序对个数。`merge` 函数用于合并两个有序的数组，并计算它们之间的逆序对个数。

使用示例：

a = [3, 1, 4, 2, 5]
cnt = merge_sort(a)[1]
print(cnt)  # 输出 4

上述代码的时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 是数组的长度。

P1750 求逆序对

逆序对可以使用归并排序来解决。在归并排序中，我们将数组分成两个部分，然后递归地对它们进行排序，最后将它们合并在一起。在合并两个已排序的子数组时，我们可以计算逆序对的数量。具体地，我们用两个指针 $i$ 和 $j$ 分别指向两个子数组的开头，比较它们指向的元素的大小，如果 $a[i] \leq a[j]$，则已经不存在逆序对，直接将 $a[i]$ 加入合并后的数组中，并将 $i$ 指针向后移动一位；否则，将 $a[j]$ 加入合并后的数组中，并将 $j$ 指针向后移动一位，此时 $a[i+1..mid]$ 与 $a[j]$ 都是逆序对。

下面给出具体的代码实现：

const int N = 1e5 + 5;

int a[N], b[N], tmp[N]; // b 为辅助数组

long long merge(int l, int mid, int r) {
    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    long long cnt = 0;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (a[i] <= a[j]) {
            b[k++] = a[i++];
        } else {
            b[k++] = a[j++];
            cnt += mid - i + 1; // 统计逆序对数量
        }
    }
    while (i <= mid) b[k++] = a[i++];
    while (j <= r) b[k++] = a[j++];
    for (int i = l; i <= r; i++) a[i] = b[i];
    return cnt;
}

long long merge_sort(int l, int r) {
    if (l >= r) return 0;
    int mid = (l + r) >> 1;
    long long cnt = merge_sort(l, mid) + merge_sort(mid + 1, r) + merge(l, mid, r);
    return cnt;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    printf("%lld\n", merge_sort(1, n));
    return 0;
}

时间复杂度为 $O(n\log n)$。