sigmoid函数的推导

sigmoid函数是一种常用的激活函数，它将输入值映射到0到1之间的值，常用于神经网络的输出层或隐藏层。sigmoid函数的数学表达式为：

$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

sigmoid函数的推导可以通过下面的步骤来实现：

1. 首先，将sigmoid函数的输出值表示为$y=f(x)$。

2. 将sigmoid函数的输出值对输入值$x$求导，得到：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\left(1-\frac{1}{1+e^{-x}}\right)$$

3. 将上式中的$\frac{1}{1+e^{-x}}$替换为$y$，得到：

$$\frac{dy}{dx}=y\cdot(1-y)$$

这个公式表明，sigmoid函数的导数可以用函数自身来表示。这个性质在神经网络中非常有用，因为它可以方便地计算反向传播算法中的梯度。

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激活函数中如何从sigmoid函数推导至tanh函数

Sigmoid函数和Tanh函数都是激活函数，它们都可以将输入信号转换为输出信号。可以从sigmoid函数推导出tanh函数，只需要将sigmoid函数的参数改变一下，即可转换成tanh函数。具体的过程是：将sigmoid函数的参数a变为-a，其余参数不变，就可以得到tanh函数。

推导sigmoid函数的导数表达式

sigmoid 函数的表达式为：

$$\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$$

其导数可以通过链式法则推导得到：

$$\begin{aligned}
\frac{d\sigma(x)}{dx} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\\
&= \frac{d}{du}\left(\frac{1}{u}\right) \cdot \frac{du}{dx}, \quad u = 1+e^{-x}\\
&= -\frac{1}{u^2} \cdot \frac{d}{dx}(1+e^{-x})\\
&= -\frac{1}{(1+e^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(1+e^{-x})\\
&= -\frac{1}{(1+e^{-x})^2} \cdot (-e^{-x})\\
&= \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\\
&= \frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\\
&= \sigma(x)\cdot(1-\sigma(x))
\end{aligned}$$

因此，sigmoid 函数的导数表达式为：

$$\frac{d\sigma(x)}{dx}=\sigma(x)\cdot(1-\sigma(x))$$