有数列定义为:f(0) = a, f(1) =b,f(n) = f(n-1)+f(n-2), 且0 < a < b < 20.现给出a, b, n,请问f(n)能否被3整除.

### 回答1：
题目描述：给定一个数列，满足f(0) = a, f(1) =b, f(n) = f(n-1)+f(n-2)，且 1 < a < b < 20。现给出a,b,n，请计算f(n)是否能被3整除。

解答：根据题意，先求出数列中的前n项，然后判断f(n)是否能被3整除即可。可以使用循环或递归的方式实现。

循环实现：

a = 2
b = 5
n = 10

f = [0] * (n+1)
f[0] = a
f[1] = b
for i in range(2, n+1):
    f[i] = f[i-1] + f[i-2]

if f[n] % 3 == 0:
    print("能被3整除")
else:
    print("不能被3整除")

递归实现：

a = 2
b = 5
n = 10

def fibonacci(n):
    if n == 0:
        return a
    elif n == 1:
        return b
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

f = fibonacci(n)
if f % 3 == 0:
    print("能被3整除")
else:
    print("不能被3整除")

### 回答2：
首先可以列出数列的前几项：f(2) = ab, f(3) = b(ab), f(4) = b^2 (a^2 b - 1), f(5) = b^3 (a^3 b^2 - a), f(6) = b^4 (a^4 b^3 - a^2 b - 1)，根据数学归纳法可得，当n≥3时，f(n)是由a、b的乘积和前两项的积相乘而成的，也就是f(n) = f(n-1)·f(n-2) = ab·f(n-2)，考虑f(n)能否被3整除，可以把问题转化为ab·f(n-2)能否被3整除。显然，当a、b中至少有一个是3的倍数时，ab·f(n-2)一定能被3整除。因此，只需要考虑a、b都不是3的倍数的情况。

如果a、b都不是3的倍数，则它们除以3的余数只能是1或2。假设a≡1(mod 3)，则b只能≡2(mod 3)，因为如果b≡1(mod 3)，则b<a，与题意矛盾；同理，如果b≡1(mod 3)，则a必须≡2(mod 3)，这样可以保证a<b。因此，可以把问题简化为当a≡1(mod 3)，b≡2(mod 3)时，判断f(n-2)能否被3整除。又因为f(0)、f(1)都不是3的倍数，而对于n≥2的情况，f(n)的3次幂因子只有2种：b和a的个数之和的3次幂因子以及b的3次幂因子。因此，只需要说明f(n-2)中是否包含a或b，即可得出答案。

当n=2时，f(2) = ab一定不是3的倍数，因为a、b都不是3的倍数。当n=3时，f(3) = b(ab)，此时的b已经是3的倍数，能够被3整除。当n≥4时，f(n-2)中至少包含a或b的1项，因此f(n-2)不能被3整除。

综上所述，只有当a、b中至少有一个是3的倍数时，f(n)能被3整除。

### 回答3：
首先，我们可以通过列出数列的前几项来观察规律：

f(0) = a
f(1) = b
f(2) = a * b
f(3) = b * (a * b) = b^2 * a
f(4) = (a * b) * (b^2 * a) = a * b^3 * a = a^2 * b^3
f(5) = (b^2 * a) * (a^2 * b^3) = a^3 * b^5

可以发现，若a和b都不是3的倍数，则f(n)不可能被3整除。因为数列中每一项的因数都只包含a和b，而它们都不是3的倍数。

若a和b中有一个是3的倍数，则f(0)，f(1)和f(2)都是3的倍数。此后，数列中每一项的因数都包含3，因此f(n)也是3的倍数。

此外，若a和b中有一个是3的倍数，另一个为非3的倍数，则f(0)和f(1)都是3的倍数，但f(2)不是。而之后的数列中，每一项都是前两项的积，因此它们的因数中必定含有不为3的因子，因此f(n)不可能被3整除。

因此，总结来说，当且仅当a和b中至少有一个是3的倍数时，f(n)才能被3整除。