证明:矩阵A是m行n列的矩阵 B是n行s列的矩阵 AB=0 A的秩加B的秩≤n
时间: 2024-05-30 11:09:32 浏览: 27
我们需要使用矩阵秩的性质来证明这个命题。
设A的秩为r1,B的秩为r2。
根据矩阵乘法的定义,AB的每一行都是A的一行与B的一列的乘积之和。因此,如果AB的某一行全为0,则说明A的该行与B的所有列的乘积之和均为0。这意味着A的该行与B的列向量组成的线性组合为0向量,即存在不全为0的常数c1,c2,...,cn使得
c1*A的该行 + c2*B的第1列 + ... + cn*B的第n列 = 0向量
这个方程可以写成
[c1 c2 ... cn] * [A的该行 B的第1列 ... B的第n列] = 0向量
由于A的该行与B的列向量组成的矩阵有n列,而矩阵秩的定义是线性无关的列向量的最大个数,因此该矩阵的秩不超过n。又因为矩阵乘积的秩不超过其因子的秩之积,即rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)),因此我们得到了一个重要的结论:
如果AB的某一行全为0,则A的秩加B的秩不超过n。
现在我们考虑反证法。假设AB=0,且A的秩加B的秩大于n。由于A的秩不超过m,B的秩不超过s,因此我们有
r1 + r2 > n ≥ m, s
根据矩阵秩的定义,A和B中必然存在r1 + r2 - n个线性无关的列向量,不妨设这些向量是A的第i1,i2,...,i(r1+r2-n)列和B的第j1,j2,...,j(r1+r2-n)列。我们可以将这些列向量组成一个(n-r1-r2)×(r1+r2)的矩阵C,记作
C = [A的第i1,i2,...,i(r1+r2-n)列 B的第j1,j2,...,j(r1+r2-n)列]
由于C的列向量线性无关,因此C的秩为r1+r2-n。又由于C的列向量都来自于A和B,因此C的秩不超过min(r1,r2)。这意味着r1+r2-n ≤ min(r1,r2),即r1 + r2 ≤ n,与我们的假设矛盾。因此原命题得证。
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