A是4×3的矩阵B是3×4的矩阵AB是0矩阵为什么A矩阵的秩+B矩阵的秩要小于等于3
时间: 2024-05-06 16:07:43 浏览: 24
根据矩阵乘法的定义,若$A$是$m \times n$的矩阵,$B$是$n \times p$的矩阵,$C=AB$是$m \times p$的矩阵。如果$C$是零矩阵,那么$AB=0$。
根据矩阵秩的定义,矩阵$A$的秩等于$A$的行向量组(或列向量组)的极大线性无关组中向量的个数。同理,$B$的秩等于$B$的行向量组(或列向量组)的极大线性无关组中向量的个数。
由于$AB=0$,则$A$的列向量组一定在$B$的零空间中,即$A$的列向量组线性相关。因为$A$的列向量组有3个向量,所以$A$的秩小于等于2。
同理,$B$的行向量组一定在$A$的零空间中,即$B$的行向量组线性相关。因为$B$的行向量组有3个向量,所以$B$的秩小于等于2。
因此,$A$矩阵的秩加上$B$矩阵的秩小于等于2 + 2 = 4,即$A$矩阵的秩加上$B$矩阵的秩小于等于3。
相关问题
若AB为4乘5矩阵,B^A^是什么矩阵
矩阵的乘法满足结合律,但是不满足交换律,即一般情况下 AB ≠ BA。
因此,首先需要确定 B^A^ 是什么矩阵。
A 是一个 4 × 5 的矩阵,B 是一个未知的矩阵,所以 A 的列数等于 B^A^ 的行数。
B^A^ 的列数等于 B 的列数,但是 B 的列数未知,因此无法确定 B^A^ 的列数。
因此,无法确定 B^A^ 的大小,也就无法确定 B^A^ 是什么矩阵。
A是4×3的矩阵并且A的秩为2,B矩阵可逆为什么A×B矩阵的秩是2
根据矩阵秩的性质,$rank(AB) \leq \min(rank(A), rank(B))$。因为A的秩为2,所以$rank(A) = 2$。因为B可逆,所以$rank(B) = n$。因为A是4x3的矩阵,所以它的列空间的维数为2。因此,$rank(A) = 2$,说明A的列空间的维数为2。因为B可逆,所以B的列空间的维数也为n(即为3)。因此,$rank(AB) \leq 2$。又因为$rank(AB)$至少为0,所以$rank(AB) = 0$或1或2。如果$rank(AB) = 0$,那么AB的所有列都在零向量空间中,这意味着B的列空间不能包含A的列空间,与前提条件矛盾。如果$rank(AB) = 1$,那么AB的所有列都在一维列空间中,这意味着B的列空间必须包含A的列空间,但是这违反了A的列空间的维数为2的事实。因此,$rank(AB) = 2$。
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