题目:ρxy=-0.5 E(x)=20,D(x)=16 0E=2x+3Y E(Y)=15, D(Y)=9,求P(55<x<120)下界
时间: 2023-06-17 19:02:09 浏览: 50
根据题目可以得到以下信息:
ρxy=-0.5,即 x 和 y 的相关系数为 -0.5。
E(x)=20,D(x)=16,即 x 的期望为 20,方差为 16。
E(Y)=15,D(Y)=9,即 y 的期望为 15,方差为 9。
要求 P(55<x<120) 的下界。
由于 x 和 y 的相关系数为 -0.5,且两者均服从正态分布,因此可以使用二元正态分布来求解。
首先,计算 x 和 y 的协方差:
Cov(x,y) = ρxy * σx * σy = -0.5 * √16 * √9 = -2.25
然后,计算 x 和 y 的联合期望和方差:
E(x+y) = E(x) + E(y) = 20 + 15 = 35
D(x+y) = D(x) + D(y) + 2Cov(x,y) = 16 + 9 - 2 * 2.25 = 20.5
接下来,标准化变量:
Zx = (x - E(x)) / σx = (x - 20) / 4
Zy = (y - E(y)) / σy = (y - 15) / 3
根据题目要求,求 P(55<x<120) 的下界,即 P(Zx > (55 - 20) / 4)。
根据二元正态分布的公式,有:
P(Zx > (55 - 20) / 4) = 1 - Φ(0.9375 - 0.5 * (120 - 35) / √20.5)
其中,Φ 表示标准正态分布的累积分布函数。
计算得到:
P(Zx > (55 - 20) / 4) ≈ 0.0252
因此,P(55<x<120) 的下界为约 0.0252。
相关问题
ρxy=-0.5 E(x)=20,D(x)=16 ,Z=2x+3Y ,E(Y)=15, D(Y)=9,求P(55<Z<120)下界
这是一个数理统计的问题,不属于IT类问题。根据题目中的知识点,我们可以使用线性组合的公式和正态分布的知识来解决问题。
由于Z = 2X + 3Y,我们可以得到Z的期望和方差分别为:
E(Z) = 2E(X) + 3E(Y) = 2×20 + 3×15 = 85
Var(Z) = 4Var(X) + 9Var(Y) + 12Cov(X, Y)
由于ρxy = -0.5,可以得到Cov(X, Y) = ρxy×σx×σy = -0.5×sqrt(16)×sqrt(9) = -6
因此,Var(Z) = 4×16 + 9×9 + 12×(-6) = 25
由于Z服从正态分布,可以标准化Z,得到:
Z ~ N(85, 5)
我们要求P(55 < Z < 120),可以进行标准化得到:
P((55-85)/5 < (Z-85)/5 < (120-85)/5)
P(-6 < Z' < 7)
然后我们可以使用标准正态分布表或者计算机软件来求解这个概率,得到下界为:
P(-6 < Z' < 7) ≈ 0.999。
ρxy=-0.5 E(x)=20,D(x)=16 ,Z=2x+3Y, E(Y)=15, D(Y)=9,求P(55<x<120)下界
这是一个数理统计的问题,属于IT类问题。
根据题意,我们可以得到:
E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 × 20 + 3 × 15 = 85
D(Z) = D(2X + 3Y) = 4D(X) + 9D(Y) + 12Cov(X, Y)
其中,Cov(X, Y)是X和Y的协方差。由于ρxy = -0.5,我们可以得到:
Cov(X, Y) = ρxy × σx × σy = -0.5 × √16 × √9 = -2.25
因此,
D(Z) = 4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5 = 138.5
接下来,我们需要将Z标准化为标准正态分布:
Z' = (Z - E(Z)) / √D(Z) = (Z - 85) / √138.5
P(55 < X < 120)等价于P(2X < 240)。将2X带入Z的公式中,得到:
Z' = (2X - 2E(X) + 3Y - 3E(Y)) / √(4D(X) + 9D(Y) + 12Cov(X, Y))
将X = 55和X = 120代入上式,分别得到:
Z'1 = (110 - 2 × 20 + 3Y - 3 × 15) / √(4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5) ≈ 0.61 + 0.35Y
Z'2 = (240 - 2 × 20 + 3Y - 3 × 15) / √(4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5) ≈ 1.91 + 0.35Y
因为Z'是标准正态分布,所以P(55 < X < 120)等价于P(Z'1 < Z' < Z'2)。将Z'1和Z'2带入标准正态分布的累积分布函数中,得到:
P(Z'1 < Z' < Z'2) ≈ Φ(Z'2) - Φ(Z'1) ≈ Φ(1.91 + 0.35Y) - Φ(0.61 + 0.35Y)
其中,Φ是标准正态分布的累积分布函数。因为我们不知道Y的具体取值,所以需要对Y进行积分:
P(55 < X < 120) ≈ ∫Φ(1.91 + 0.35Y) - Φ(0.61 + 0.35Y) f(y)dy
其中,f(y)是Y的概率密度函数。由于Y是正态分布,所以:
f(y) = 1 / (√2πD(Y)) × exp[-(y-E(Y))^2 / (2D(Y))]
将f(y)带入上式,得到:
P(55 < X < 120) ≈ ∫[Φ(1.91 + 0.35y) - Φ(0.61 + 0.35y)] × [1 / (√2πD(Y)) × exp[-(y-E(Y))^2 / (2D(Y))]]dy
这是一个积分问题,可以使用数值积分或者计算机软件求解。