6关节机器人雅可比矩阵计算python实现

假设6关节机器人的位置由关节角度 $q_1, q_2, ...,q_6$ 描述，它们的终端执行器的位置由 $(x,y,z)$ 描述，我们可以使用雅可比矩阵来描述机器人的运动学。

在机器人运动学中，雅可比矩阵是描述机器人的末端执行器在关节空间中的速度和位置之间的关系的重要工具。它定义了机器人末端执行器在关节空间中的速度和位置之间的线性变换。

我们可以使用 Python 中的 NumPy 库来实现雅可比矩阵的计算，具体步骤如下：

1. 导入 NumPy 库

import numpy as np

2. 定义机器人的 DH 参数

假设机器人的 DH 参数如下：

| i | $\alpha_{i-1}$ | $a_{i-1}$ | $d_i$ | $\theta_i$ |
| -- | -- | -- | -- | -- |
| 1 | 0 | 0 | $d_1$ | $q_1$ |
| 2 | $\frac{\pi}{2}$ | $a_1$ | 0 | $q_2$ |
| 3 | 0 | $a_2$ | 0 | $q_3$ |
| 4 | $\frac{\pi}{2}$ | $a_3$ | $d_4$ | $q_4$ |
| 5 | $-\frac{\pi}{2}$ | 0 | 0 | $q_5$ |
| 6 | $\frac{\pi}{2}$ | 0 | $d_6$ | $q_6$ |

我们可以将 DH 参数存储在一个 6x4 的 NumPy 数组中，每一行对应一个关节。

dh_params = np.array([
    [0, 0, d1, q1],
    [np.pi/2, a1, 0, q2],
    [0, a2, 0, q3],
    [np.pi/2, a3, d4, q4],
    [-np.pi/2, 0, 0, q5],
    [np.pi/2, 0, d6, q6]
])

3. 定义旋转矩阵和平移矩阵

我们可以使用 DH 参数来计算每个关节的旋转矩阵和平移矩阵。

def rot_x(theta):
    return np.array([
        [1, 0, 0],
        [0, np.cos(theta), -np.sin(theta)],
        [0, np.sin(theta), np.cos(theta)]
    ])

def rot_z(theta):
    return np.array([
        [np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],
        [np.sin(theta), np.cos(theta), 0],
        [0, 0, 1]
    ])

def trans_z(d):
    return np.array([
        [1, 0, 0, 0],
        [0, 1, 0, 0],
        [0, 0, 1, d],
        [0, 0, 0, 1]
    ])

def trans_x(a):
    return np.array([
        [1, 0, 0, a],
        [0, 1, 0, 0],
        [0, 0, 1, 0],
        [0, 0, 0, 1]
    ])

4. 计算末端执行器的位置和姿态

我们可以使用 DH 参数和旋转矩阵、平移矩阵来计算机器人末端执行器的位置和姿态。

def forward_kinematics(q):
    T = np.eye(4)
    for i in range(6):
        alpha, a, d, theta = dh_params[i]
        T_i = np.dot(rot_z(theta), trans_z(d))
        T_i = np.dot(T_i, trans_x(a))
        T_i = np.dot(T_i, rot_x(alpha))
        T = np.dot(T, T_i)
    return T[:3, 3], T[:3, :3]

5. 计算雅可比矩阵

我们可以使用数值微分的方法来计算雅可比矩阵。

def jacobian(q, delta=0.001):
    J = np.zeros((6, 6))
    for i in range(6):
        q1 = np.copy(q)
        q1[i] += delta
        x1, _ = forward_kinematics(q1)
        x2, _ = forward_kinematics(q)
        J[:, i] = (x1 - x2) / delta
    return J

这样，我们就可以使用上述代码来计算机器人的雅可比矩阵了。