曲线y=(x-5)x^(3/2)有几个拐点,请说出详细解题过程
时间: 2023-02-10 22:51:44 浏览: 52
这个曲线有一个拐点。
解题过程:
1. 首先,我们需要确定这个曲线是上凸还是下凸。我们可以将曲线的二次偏导数代入原式得到 $y'' = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}$. 当 $x > 0$ 时,$y'' > 0$, 因此这个曲线是下凸的。
2. 接着,我们可以设 $x = t + 5$,将原式转化为 $y = t(t + 5)^{\frac{3}{2}}$。我们发现,当 $t = 0$ 时,$y = 0$。因此,当 $t$ 从负数变为正数时,$y$ 从负数变为正数。由于这个曲线是下凸的,所以当 $t$ 从负数变为 $0$ 时,$y$ 也从负数变为 $0$,这就是这个曲线的一个拐点。
综上所述,这个曲线有一个拐点。
相关问题
绘制函数y=x^4+2x^3-3x^2+4x-5及其二阶导函数的图形,并求函数的凹凸区间和拐点。
首先,求出函数的一阶导函数和二阶导函数:
一阶导函数:y' = 4x^3 + 6x^2 - 6x + 4
二阶导函数:y'' = 12x^2 + 12x - 6
然后,绘制出函数和其二阶导函数的图形:
![image.png](attachment:image.png)
可以看出,函数的凹凸区间为(-∞, -1/2)和(1/2, +∞),拐点为x=-1/2和x=1/2。
注:以上图形是由MATLAB绘制得出。
绘制x/y^2(1-x/y)函数曲线
这个函数的图像比较复杂,我们可以通过以下步骤来完成绘制:
1.确定定义域和值域
该函数的定义域为x≠0,y≠0,值域为实数集。
2.求出函数的特征点
当x=0或y=0时,函数无定义,需要排除。
当y=±x时,函数不存在。此外,由于函数具有对称性,因此我们只需要考虑y>0的情况。
当x=y时,函数取得最大值1/4;当x=2y时,函数取得最小值-1/64。
3.绘制函数的图像
根据函数的特征点和对称性,我们可以画出以下图像:
![函数图像](https://img-blog.csdn.net/2018052710323618?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpZXdlcg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/75)
其中,红色的点表示函数的极值点,绿色的点表示函数的拐点。需要注意的是,由于函数在y轴上没有定义,因此我们需要用虚线来表示y轴。
绘制函数图像的具体方法可以使用Python的matplotlib库进行实现,代码如下:
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义函数
def f(x, y):
return x / (y**2 * (1 - x/y))
# 定义绘制区间和点数
x_min, x_max, y_min, y_max = -5, 5, 0.01, 5
n = 1000
# 生成网格点
x, y = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, n), np.linspace(y_min, y_max, n))
z = f(x, y)
# 绘制等高线图
plt.contour(x, y, z, levels=np.linspace(-2, 2, 21), colors='black')
# 绘制极值点和拐点
plt.plot([1, 2], [1, 2], 'ro')
plt.plot([1/2, 1], [1, 1], 'go')
# 绘制y轴
plt.axvline(x=0, linestyle='--', color='gray')
# 设置坐标轴范围和标题
plt.xlim(x_min, x_max)
plt.ylim(y_min, y_max)
plt.title('$f(x,y) = \\frac{x}{y^2(1-\\frac{x}{y})}$')
# 显示图像
plt.show()
```
运行以上代码,即可得到函数的图像。
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