设曲线y=f(x)过点M(2,3),并且介于两坐标轴间的任意切线段被切点平分,求此曲线的方程
时间: 2024-02-26 09:53:09 浏览: 27
设曲线 $y=f(x)$ 的方程为 $y=f(x)$,则过点 $M(2,3)$ 的切线方程为:
$$y-3=f'(2)(x-2)$$
由于介于两坐标轴间的任意切线段被切点平分,所以曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线和 $x=-1$ 处的切线斜率相等,即:
$$f'(1)=f'(-1)$$
又因为切线段被切点平分,所以切线段的中点坐标为 $(1,\frac{f(1)+3}{2})$,切点坐标为 $(1,f(1))$,于是有:
$$\frac{f(1)+3}{2}=f'(2)(1-2)+3$$
解得:
$$f(1)=2f'(2)+1$$
将 $f'(1)=f'(-1)$ 代入导数定义式中,得:
$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1-h)}{2h}=f'(1)=f'(-1)$$
化简得:
$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1+h)-2f(1)+f(1-h)}{h^2}=0$$
根据泰勒公式,有:
$$f(1+h)=f(1)+f'(1)h+\frac{f''(1)}{2}h^2+o(h^2)$$
$$f(1-h)=f(1)-f'(1)h+\frac{f''(1)}{2}h^2+o(h^2)$$
代入上式,得:
$$\frac{f''(1)}{2}=0$$
因此,$f''(1)=0$,即 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的二阶导数为 $0$,根据曲线的性质可知,$x=1$ 是曲线的拐点。
由于曲线 $y=f(x)$ 过点 $M(2,3)$,所以有 $f(2)=3$。又因为 $x=1$ 是曲线的拐点,所以可以设曲线的方程为 $y=ax^2+bx+c$,代入 $x=2$ 和 $x=1$ 得到:
$$\begin{cases}4a+2b+c=3\\a+b+c=f(1)\end{cases}$$
又因为 $f(1)=2f'(2)+1$,所以:
$$a+b+c=2f'(2)+1$$
解以上方程组,得到:
$$a=\frac{3}{2},\quad b=-2,\quad c=\frac{5}{2}$$
因此,曲线的方程为:
$$y=\frac{3}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$$
综上所述,曲线的方程为 $y=\frac{3}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$。
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