arcsin(x-2)/2的导数和2arcsin(√x)/2的导数一样吗

首先，我们可以使用链式法则来求解两个的导数。设$f(x)=\arcsin(x-2)/2$，$g(x)=2\arcsin(\sqrt{x})/2=\arcsin(\sqrt{x})$。

对于$f(x)$，我们有：

$$
\begin{aligned}
f'(x)&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-(x-2)^2}}\cdot 1\\
&=\frac{1}{2\sqrt{1-(x-2)^2}}
\end{aligned}
$$

对于$g(x)$，我们有：

$$
\begin{aligned}
g'(x)&=\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{x}^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{aligned}
$$

因此，$f'(x)$和$g'(x)$是不相同的，它们的表达式不同。

相关问题

f(x)=arcsin(|x-c|/|x-d|)的一阶泰勒展开

根据泰勒公式，f(x)在x=a处的一阶泰勒展开式为：
f(x)≈f(a)+f′(a)(x-a)
因此，我们需要求出f(x)在x=c处的一阶导数f′(x)，然后代入上式即可。
根据链式法则和引用，我们可以得到：
f′(x)=cos(arcsin(|x-c|/|x-d|))⋅(d-c)/|x-d|⋅sgn(x-c)
其中，sgn(x-c)表示x-c的符号函数，即当x>c时为1，当x<c时为-1，当x=c时为0。
将f′(x)代入泰勒展开式中，得到：
f(x)≈f(c)+cos(arcsin(|c-c|/|c-d|))⋅(d-c)/|c-d|⋅sgn(x-c)⋅(x-c)
化简可得：
f(x)≈f(c)+(d-c)⋅sgn(x-c)⋅(x-c)/|c-d|
综上所述，f(x)=arcsin(|x-c|/|x-d|)的一阶泰勒展开式为：
f(x)≈f(c)+(d-c)⋅sgn(x-c)⋅(x-c)/|c-d|

f(x)=arcsin(||x-a||/||x-b||)的一阶泰勒展开

函数 f(x)=arcsin(||x-a||/||x-b||) 的一阶泰勒展开式为：
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)
其中，f(a) = arcsin(||a-a||/||a-b||) = 0，f'(x)为f(x)的导数，有：
f'(x) = 1/√(1-||x-a||^2/||x-b||^2) * (||x-b||/||x-a||^2)*(x-a)
因此，f'(a) = 1/||a-b||。
将f(a)和f'(a)代入泰勒展开式中，得到：
f(x) ≈ 0 + 1/||a-b||*(x-a)
即：
f(x) ≈ (x-a)/||a-b||