f(x)=arcsin(||x-a||/||x-b||)在xd处的一阶泰勒展开

根据泰勒公式，函数f(x)在x=d处的一阶泰勒展开式为：
f(x) ≈ f(d) + f'(d)(x-d)
因此，我们需要求出f(x)在x=d处的导数f'(d)。

首先，我们可以将f(x)写成复合函数的形式：
f(x) = arcsin(g(x))
其中，g(x) = ||x-a||/||x-b||。

根据链式法则，f'(x) = g'(x) / sqrt(1-g(x)^2)。
因此，我们需要求出g(x)在x=d处的导数g'(d)。

将g(x)展开，得到：
g(x) = sqrt((x-a)·(x-a)) / sqrt((x-b)·(x-b)))
= sqrt((x-a)·(x-a)) / sqrt((x-b)·(x-b))) * sqrt((x-a)·(x-a)) / sqrt((x-a)·(x-a)))
= sqrt((x-a)·(x-a)) / sqrt((x-b)·(x-b))) * (x-a)

因此，g(x)在x=d处的导数为：
g'(d) = (d-a) / sqrt((d-b)·(d-b))) * sqrt((d-a)·(d-a))) + sqrt((d-a)·(d-a))) / sqrt((d-b)·(d-b))) * 1
= (d-a) / ||d-b|| + ||d-a|| / ||d-b||

将g'(d)代入f'(x)的公式中，得到：
f'(d) = g'(d) / sqrt(1-g(d)^2)
= [(d-a) / ||d-b|| + ||d-a|| / ||d-b||] / sqrt(1-[(d-a) / ||d-b|| + ||d-a|| / ||d-b||]^2)

最终，将f(d)和f'(d)代入泰勒展开式中，即可得到f(x)在x=d处的一阶泰勒展开式。